什麼是組合 nCr 數值表計算機？
這個工具會把二項式係數 nCr 完整列成表格——也就是「從 n 個相異物品中，不計順序地選取 r 個」的方法總數，並針對 r 從 0 一路算到 n 的每一個數值。你只要輸入一個 n 值，計算機就會產生一份 (n+1) 列的表格，並附上整列的總和，而這個總和恆等於 2 的 n 次方。本工具採用任意精度（大數）運算，n 最大支援到 300，因此就算是大到天文數字的係數，例如 300C150（約 89 位數），也能精確算出。
使用方式
輸入物品數量 \(n\)（非負整數，上限 300）。如果你希望把輸出中過於龐大的數字縮短顯示，可以設定「顯示精度（有效位數）」；這只會影響大數值的呈現方式，完全不會更動背後的運算結果。按下計算，即可看到完整的 nCr 數值表，以及所有列加總得到的 \(2^n\) 總和。
公式說明
組合公式為 $$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}.$$為了避免階乘運算溢位，計算機改用乘法遞迴：\(\binom{n}{0} = 1\)，\(\binom{n}{r} = \binom{n}{r-1} \times \frac{n-r+1}{r}\)。每一步都以大整數運算保持精確。根據對稱性，\(\binom{n}{r}\) 會等於 \(\binom{n}{n-r}\)；而所有 \(r\) 的總和，正好等於冪集合的元素個數，也就是 \(2^n\)：$$\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} = 2^{n}.$$
實例演算（n = 5）
\(\binom{5}{0} = 1\)、\(\binom{5}{1} = 5\)、\(\binom{5}{2} = 10\)、\(\binom{5}{3} = 10\)、\(\binom{5}{4} = 5\)、\(\binom{5}{5} = 1\)。整列總和為 $$1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32,$$正好等於 \(2^5\)。再驗算一次：$$\binom{6}{2} = \frac{6!}{2! \times 4!} = \frac{720}{2 \times 24} = 15.$$
常見問題
為什麼表格會有 n+1 列？因為 \(r\) 從 0 取到 \(n\)（含兩端），總共會有 n+1 個不同的組合數。
nC0 是什麼意思？代表「什麼都不選」——這種選法只有一種，所以 \(\binom{n}{0} = 1\)；同理，\(\binom{n}{n}\) 也等於 1。
為什麼要開放到 50 位有效位數？大型係數動輒好幾十位數，而標準的雙精度浮點數在大約 15～16 位數之後就會失去準確度，因此「顯示精度」選項能讓你看到不被截斷、看起來精確無誤的數值。
