Bảng tính tổ hợp nCr là gì?
Công cụ này lập bảng hệ số nhị thức nCr - tức số cách chọn ra r phần tử khác nhau từ một tập gồm n phần tử khác nhau khi thứ tự không quan trọng - cho mọi giá trị r từ 0 đến n. Bạn chỉ cần nhập một giá trị n, máy tính sẽ tạo bảng gồm (n+1) dòng cùng với tổng của cả dòng, vốn luôn bằng 2 mũ n. Công cụ hỗ trợ n lên đến 300 nhờ phép tính số học với độ chính xác tùy ý, nên ngay cả những hệ số khổng lồ như \(\binom{300}{150}\) (khoảng 89 chữ số) cũng được tính chính xác tuyệt đối.
Cách sử dụng
Nhập số phần tử n (một số nguyên không âm, tối đa 300). Nếu muốn rút gọn các số quá lớn trong kết quả, bạn có thể chọn độ chính xác hiển thị theo số chữ số có nghĩa; tùy chọn này chỉ ảnh hưởng đến cách trình bày các giá trị lớn chứ không bao giờ làm thay đổi phép toán bên dưới. Nhấn tính toán để xem toàn bộ bảng giá trị nCr cùng tổng \(2^{\text{n}}\) của tất cả các dòng.
Giải thích công thức
Công thức tổ hợp là $$\binom{\text{n}}{r} = \frac{\text{n}!}{r!\,(\text{n}-r)!}.$$ Để tránh tràn số khi tính giai thừa, máy tính sử dụng công thức truy hồi theo phép nhân: \(\binom{\text{n}}{0} = 1\) và \(\binom{\text{n}}{r} = \binom{\text{n}}{r-1} \cdot \frac{\text{n} - r + 1}{r}\). Mỗi bước đều giữ chính xác tuyệt đối nhờ số học số nguyên lớn. Theo tính đối xứng, \(\binom{\text{n}}{r}\) bằng \(\binom{\text{n}}{\text{n}-r}\), và tổng của tất cả các giá trị r bằng kích thước của tập lũy thừa, tức $$\sum_{r=0}^{\text{n}} \binom{\text{n}}{r} = 2^{\text{n}}.$$
Ví dụ minh họa (n = 5)
\(\binom{5}{0} = 1\), \(\binom{5}{1} = 5\), \(\binom{5}{2} = 10\), \(\binom{5}{3} = 10\), \(\binom{5}{4} = 5\), \(\binom{5}{5} = 1\). Tổng của dòng là $$1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32,$$ đúng bằng \(2^5\). Để kiểm chứng thêm: $$\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!\,(4!)} = \frac{720}{2 \cdot 24} = 15.$$
Câu hỏi thường gặp
Vì sao bảng có n+1 dòng? Vì r chạy từ 0 đến n (kể cả hai đầu), tạo ra n+1 giá trị tổ hợp khác nhau.
nC0 nghĩa là gì? Đó là việc không chọn phần tử nào - chỉ có đúng một cách để làm điều này, nên \(\binom{\text{n}}{0} = 1\), và tương tự \(\binom{\text{n}}{\text{n}} = 1\).
Vì sao cho phép tới 50 chữ số có nghĩa? Các hệ số lớn có rất nhiều chữ số; kiểu số thực chính xác kép thông thường bắt đầu mất độ chính xác sau khoảng 15-16 chữ số, vì vậy bộ chọn độ chính xác hiển thị giúp bạn xem các giá trị trông chính xác mà không bị cắt bớt.
