ما هي سعة (وسيطة) العدد المركب؟
يمكن تمثيل أي عدد مركب \(z = a + bi\) كنقطة \((a, b)\) في المستوى المركب. أما سعته (وتُسمى أيضاً الطور أو الوسيطة) فهي الزاوية التي يصنعها الخط الواصل من نقطة الأصل إلى تلك النقطة مع المحور الحقيقي الموجب، مقيسة عكس اتجاه عقارب الساعة. وباجتماعها مع القيمة المطلقة \(|z|\)، تمنحنا السعة الصورة القطبية للعدد المركب: \(z = |z|(\cos\theta + i\cdot\sin\theta)\).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل الجزء الحقيقي a والجزء التخيّلي b للعدد المركب \(a + bi\). ستعرض الحاسبة قيمة السعة بالراديان والدرجات معاً، إضافة إلى القيمة المطلقة. ويُسمح بإدخال القيم السالبة، إذ توضع النتيجة في الربع الصحيح تلقائياً.
شرح الصيغة
قد يلجأ البعض إلى الطريقة البسيطة \(\theta = \arctan(b/a)\)، لكنها تفشل عندما يكون \(a = 0\) ولا تميّز بين الأرباع المختلفة. لذلك نستخدم الدالة ذات الوسيطين atan2(b, a)، التي تفحص إشارتَي \(a\) و\(b\) معاً لتُعيد الزاوية الصحيحة ضمن المجال \((-\pi, \pi]\):
$$\arg z = \operatorname{atan2}\left(\text{Imaginary }b,\ \text{Real }a\right)$$أما القيمة المطلقة فهي المسافة الإقليدية \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\).
مثال محلول
لنأخذ \(z = 1 + i\)، حيث \(a = 1\) و\(b = 1\). عندئذٍ تكون $$\arg(z) = \operatorname{atan2}(1, 1) = \frac{\pi}{4} \approx 0.7854 \text{ راديان} = 45°,$$ وتكون \(|z| = \sqrt{2} \approx 1.4142\). أي أن العدد \(1 + i\) يقع على المستقيم \(y = x\) في الربع الأول، تماماً كما هو متوقع.
الأسئلة الشائعة
ما المجال الذي تنتمي إليه قيمة السعة؟ بحسب العُرف المتبع، تقع القيمة الأساسية ضمن المجال \((-\pi, \pi]\)، أي من -180° إلى 180°.
ما قيمة arg(0)؟ سعة الصفر غير معرّفة؛ تُعيد الدالة atan2(0, 0) هنا القيمة 0، لكن لا معنى حقيقياً للزاوية عندما تكون \(|z| = 0\).
لماذا نستخدم الدرجات والراديان معاً؟ يُعد الراديان الوحدة القياسية في التفاضل والتكامل وصيغة أويلر، بينما تكون الدرجات غالباً أسهل في التصور. وقد وفّرنا الوحدتين معاً لتيسير الأمر عليك.
