这个转换器的功能
本工具可将以直角坐标（也称代数形式或笛卡尔形式）书写的复数 \(x + yi\) 转换为极坐标形式 \(r\,e^{i\theta}\)。极坐标形式用同一个复数到原点的距离（模 \(r\)）以及它与正实轴所成的角度（辐角 \(\theta\)）来表示该数。相比在直角坐标下运算，极坐标形式让复数的乘法、除法以及乘方、开方都变得简单得多。
使用方法
输入一个复数即可，例如 3+4i、-2-5i、4（纯实数）、2i 或 -i（纯虚数）。允许使用空格，单独的 i 或 -i 会被识别为 \(\pm 1\)。计算器会提取实部 \(x\) 与虚部 \(y\)，随后返回模 \(r\)、以弧度表示的辐角 \(\theta\)，以及完整的极坐标表达式。
公式详解
对于复数 \(x + yi\)，模为 \(r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\)，即从原点到点 \((x, y)\) 的直线距离。辐角为 \(\theta = \operatorname{atan2}(y, x)\)。这里特意采用双参数函数 \(\operatorname{atan2}\)，而非 \(\arctan(y/x)\)：\(\operatorname{atan2}\) 能返回正确象限内的角度，并妥善处理 \(x = 0\) 的情形，给出位于区间 \((-\pi, \pi]\) 的主值。按惯例，在原点 \((0, 0)\) 处取 \(\theta = 0\)。
$$\begin{gathered} \text{Complex Number} = x + yi \;=\; r\,e^{i\theta} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} r &= \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ \theta &= \operatorname{atan2}(y,\,x) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
示例演算
以 3+4i 为例，此时 \(x = 3\)、\(y = 4\)。则 $$r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$$ 辐角为 \(\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.927295218\) 弧度（约 \(53.13^{\circ}\)）。因此其极坐标形式为 \(5\,e^{0.927295218\,i}\)。
常见问题
角度用的是度还是弧度？辐角 \(\theta\) 以弧度表示。若要换算成度，乘以 \(180/\pi\) 即可。
实部为负时怎么办？使用 \(\operatorname{atan2}\) 可确保实部为负的复数正确落在第二或第三象限。例如 \(-2-5i\) 得 \(r = \sqrt{29} \approx 5.385164807\)，\(\theta = \operatorname{atan2}(-5, -2) \approx -1.951302704\) 弧度。
在零点处会怎样？对于 \(0 + 0i\)，模为 \(0\)，辐角按惯例取 \(0\)，因此极坐标形式为 \(0\,e^{0\,i}\)。
