Công cụ chuyển số phức từ dạng đại số sang dạng cực

Nhập phép tính

Số phức (x + yi)

Kết quả

Tọa độ cực: r·e^(θi)

5.0·e^(0.927295218i)

from 3 + 4i

Môđun r	5
Góc pha θ (radian)	0,927295218

Công cụ này làm gì

Công cụ này giúp bạn chuyển một số phức viết ở dạng đại số (còn gọi là dạng Descartes hay dạng đại số), tức \(x + yi\), sang dạng cực \(r\cdot e^{i\theta}\). Dạng cực biểu diễn cùng một số đó bằng khoảng cách từ điểm đến gốc tọa độ (môđun \(r\)) và góc mà nó tạo với chiều dương của trục thực (góc pha \(\theta\)). Khi làm việc với phép nhân, chia, lũy thừa hay khai căn số phức, dạng cực gọn gàng và đơn giản hơn nhiều so với dạng tọa độ vuông góc.

Cách sử dụng

Bạn chỉ cần nhập một số phức, chẳng hạn 3+4i, -2-5i, 4 (số thực thuần túy), 2i hoặc -i (số thuần ảo). Có thể để khoảng trắng, và khi nhập riêng i hay -i thì công cụ hiểu là ±1. Máy tính sẽ tách phần thực \(x\) và phần ảo \(y\), sau đó trả về môđun \(r\) cùng góc pha \(\theta\) tính theo radian, kèm theo biểu thức dạng cực đầy đủ.

Giải thích công thức

Với số phức \(x + yi\), môđun được tính bằng $$ r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $$ chính là khoảng cách theo đường thẳng từ gốc tọa độ đến điểm \((x, y)\). Góc pha là $$ \theta = \operatorname{atan2}(y,\, x) $$ Chúng tôi cố tình dùng hàm hai biến \(\operatorname{atan2}\) thay vì \(\arctan(y/x)\): \(\operatorname{atan2}\) cho ra góc nằm đúng góc phần tư và xử lý an toàn trường hợp \(x = 0\), đồng thời trả về giá trị chính trong khoảng \((-\pi, \pi]\). Theo quy ước, tại gốc tọa độ \((0, 0)\) ta lấy \(\theta = 0\).

Quảng cáo

Mô-đun r là khoảng cách từ gốc tọa độ; argument theta là góc tính từ trục thực dương.

Ví dụ minh họa

Xét 3+4i, vậy \(x = 3\) và \(y = 4\). Khi đó $$ r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$ Góc pha là \(\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0{,}927295218\) radian (khoảng \(53{,}13°\)). Do đó dạng cực là $$ 5\cdot e^{0.927295218\,i} $$

Câu hỏi thường gặp

Góc tính theo độ hay radian? Góc pha \(\theta\) được trả về theo radian. Muốn đổi sang độ, bạn nhân với \(180/\pi\).

Nếu phần thực âm thì sao? Nhờ dùng \(\operatorname{atan2}\), các số có phần thực âm sẽ rơi đúng vào góc phần tư thứ hai hoặc thứ ba. Ví dụ \(-2-5i\) cho \(r = \sqrt{29} \approx 5{,}385164807\) và \(\theta = \operatorname{atan2}(-5, -2) \approx -1{,}951302704\) radian.

Điều gì xảy ra tại số 0? Với \(0 + 0i\), môđun bằng 0 và theo quy ước góc pha lấy bằng 0, nên dạng cực là \(0\cdot e^{0\,i}\).