Что такое ранг матрицы?
Ранг матрицы A — это максимальное число линейно независимых столбцов, и оно всегда совпадает с максимальным числом линейно независимых строк. С геометрической точки зрения это размерность пространства, натянутого на строки (или столбцы) матрицы A. Понятие ранга универсально для всей линейной алгебры и не зависит от страны или принятых обозначений. Например, в англоязычной литературе ранг обозначают как «rank», в японской — иероглифом «кайсу» (階数), но математический смысл везде один и тот же.
Как пользоваться калькулятором
Задайте число строк (\(m\)) и столбцов (\(n\)), а затем введите элементы матрицы построчно в текстовое поле. Значения внутри строки разделяйте запятыми или пробелами, а сами строки — переносами строк или точками с запятой. Выпадающий список точности отображения влияет только на то, как показываются промежуточные вычисления, и не меняет математический ранг для обычных входных данных. Нажмите «Вычислить» — и калькулятор покажет ранг, размер матрицы и то, является ли матрица полноранговой.
Формула и метод
Калькулятор приводит матрицу A к ступенчатому виду методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу (частичное пивотирование). Начиная с ранга, равного 0, алгоритм просматривает каждый столбец: в нём выбирается строка-кандидат с наибольшим по модулю значением (для численной устойчивости), и если это значение превышает малый порог, строка используется как ведущая (опорная). Тогда из всех остальных строк столбец обнуляется, а ранг увеличивается на единицу. Если же во всём столбце остаются только значения, близкие к нулю, опорного элемента он не даёт. Итоговое число опорных элементов и есть ранг, для которого всегда выполняется неравенство
$$\text{rank}(A) = \dim\!\big(\text{span of pivot rows of }\text{Matrix }A\big) \le \min\!\left(m,\; n\right)$$То есть:
$$\begin{gathered} \text{rank}(A) = \#\{\text{nonzero pivots in REF}(A)\} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} A &= \text{Matrix entries} \;(m \times n) \\ \text{tol} &= 10^{-12}\cdot \max_{i,j}\lvert a_{ij}\rvert \\ \text{rank}(A) &\le \min(m,\, n) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$для которого всегда выполняется неравенство \(0 \le \text{rank} \le \min(m,\, n)\).
Разбор примера
Возьмём \(A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [1, 0, 1]]\). Вторая строка равна первой, умноженной на 2, поэтому эти две строки линейно зависимы. После приведения остаётся только две ненулевые опорные строки, то есть ранг = 2. Для сравнения: единичная матрица \(3 \times 3\) даёт три опорных элемента и ранг 3, а любая нулевая матрица имеет ранг 0.
Частые вопросы
Может ли ранг быть больше числа строк или столбцов? Нет. Ранг никогда не превышает \(\min(m,\, n)\).
Что значит «полный ранг»? Матрица имеет полный ранг, когда её ранг равен \(\min(m,\, n)\). Для квадратной матрицы это означает, что она обратима, а её определитель не равен нулю.
Зачем выбирать наибольший опорный элемент? Частичное пивотирование позволяет избежать деления на очень малые числа, благодаря чему ошибки округления при работе с плавающей точкой остаются небольшими, а вычисленный ранг — надёжным.
