Qu'est-ce que le rang d'une matrice ?
Le rang d'une matrice A correspond au nombre maximal de vecteurs colonnes linéairement indépendants qu'elle contient, qui est toujours égal au nombre maximal de vecteurs lignes linéairement indépendants. Sur le plan géométrique, il s'agit de la dimension de l'espace engendré par les lignes (ou les colonnes) de A. C'est une notion universelle de l'algèbre linéaire, indépendante de toute région ou convention. En japonais, ce même concept se nomme « kaisū ».
Comment utiliser ce calculateur
Indiquez le nombre de lignes (\(m\)) et de colonnes (\(n\)), puis saisissez les coefficients de la matrice ligne par ligne dans la zone de texte. Séparez les valeurs d'une même ligne par des virgules ou des espaces, et les lignes entre elles par des retours à la ligne ou des points-virgules. Le menu déroulant de précision d'affichage ne fait que régler la façon dont la précision de calcul est présentée ; il ne modifie pas le rang mathématique pour des entrées ordinaires. Cliquez sur « Calculer » et l'outil affiche le rang, ainsi que les dimensions de la matrice et l'indication de savoir si elle est de rang plein.
La formule et la méthode
Le calculateur réduit A à une forme échelonnée par lignes grâce à l'élimination de Gauss avec pivot partiel. En partant d'un rang égal à 0, il parcourt chaque colonne ; dans chacune d'elles, il sélectionne la ligne candidate dont la valeur absolue est la plus grande (pour garantir la stabilité numérique), et si cette valeur dépasse une faible tolérance, il l'utilise comme pivot, élimine la colonne de toutes les autres lignes et incrémente le rang d'une unité. Si une colonne entière ne contient que des valeurs proches de zéro, elle ne fournit aucun pivot. Le nombre final de pivots est le rang, qui vérifie toujours $$\text{rang}(A) = \dim\!\big(\text{espace engendré par les lignes de pivot de }A\big) \le \min\!\left(m,\; n\right)$$
Exemple détaillé
Prenons \(A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [1, 0, 1]]\). La ligne 2 est égale à 2 fois la ligne 1 : ces deux lignes sont donc dépendantes. Après élimination, il ne reste que deux lignes de pivots non nulles, ce qui donne rang = 2. À l'inverse, la matrice identité 3 × 3 fournit trois pivots et un rang égal à 3, tandis que toute matrice nulle a un rang égal à 0.
FAQ
Le rang peut-il dépasser le nombre de lignes ou de colonnes ? Non. Le rang ne peut jamais être supérieur à \(\min(m, n)\).
Que signifie « rang plein » ? Une matrice est de rang plein lorsque son rang est égal à \(\min(m, n)\). Pour une matrice carrée, cela signifie qu'elle est inversible et que son déterminant est non nul.
Pourquoi choisir le plus grand pivot ? Le pivot partiel évite de diviser par de très petits nombres, ce qui limite les erreurs d'arrondi en virgule flottante et fiabilise le calcul du rang.
