什麼是 Z 臨界值？
Z 臨界值是標準常態分布上的一個分界點，用來在假設檢定中區隔「拒絕區」與「不拒絕區」。它是透過標準常態累積分布函數（CDF）的反函數求得，通常寫作 \(\Phi^{-1}\) 或 invNorm。你會得到哪個數值，取決於所設定的顯著水準 \(\alpha\)，以及檢定屬於單尾還是雙尾。
計算器使用說明
輸入你的顯著水準 \(\alpha\)（常見為 0.05、0.01 或 0.10），再選擇檢定類型。若是雙尾檢定，計算器會將 \(\alpha\) 平均分配到兩側尾端，回傳 ± 臨界值 \(\Phi^{-1}(1 - \alpha/2)\)；若是單尾檢定，則回傳單一分界點 \(\Phi^{-1}(1 - \alpha)\)——右尾檢定取 \(+z\)，左尾檢定取 \(-z\)。
公式說明
在單尾檢定中，整個 \(\alpha\) 都落在同一側尾端，因此需要累積機率為 \(1 - \alpha\) 的 z 值。在雙尾檢定中，\(\alpha\) 會被平分，每一側尾端各佔 \(\alpha/2\)，所以上側分界點的累積機率為 \(1 - \alpha/2\)。
$$z_{crit} = \Phi^{-1}\!\left(1 - \frac{\text{Significance Level }(\alpha)}{2}\right)$$本計算器採用高精度有理近似法（Acklam 演算法）來計算反常態分布，結果可精確到小數點後多位。
範例演算
假設 \(\alpha = 0.05\)，且進行雙尾檢定。此時 \(1 - \alpha/2 = 0.975\)，而 \(\Phi^{-1}(0.975) \approx 1.95996\)，因此臨界值為 \(\pm 1.96\)——這正是 95% 信賴區間常用的熟悉數字。若是 \(\alpha = 0.05\) 的單尾檢定，分界點則為 \(\Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449\)。
常見問題
什麼時候該拒絕虛無假設？當檢定統計量超出臨界值時（雙尾檢定以絕對值判斷），就拒絕 \(H_0\)。
為什麼雙尾的臨界值比單尾大？因為 \(\alpha\) 被分配到兩側尾端，每一側只保留 \(\alpha/2\)，使分界點往外推得更遠。
該用 z 還是 t 臨界值？當母體標準差已知，或樣本數夠大時用 z；若是小樣本且標準差為估計值，則用 t。
