臨界值計算機

輸入計算

信賴水準（%）：

自由度：

分布類型： 常態（Z） 學生 t 卡方（χ²） F

自由度（分母）：

結果

臨界值

± 1.96

信賴水準	95%
分布類型	常態（Z）
自由度	30
顯著水準 alpha（α）	0.05

臨界值計算機能幫你做什麼

這個計算機可以求出你在統計假設檢定或建立信賴區間時所需要的臨界值。所謂臨界值，就是機率分布上的一個分界點，用來區隔「拒絕虛無假設」與「不拒絕虛無假設」的範圍。你不必再翻找密密麻麻的統計表，只要輸入幾個欄位，就能立即得到常態（Z）、學生 t、卡方（χ²）或 F 分布的精確數值。

Critical values mark the boundaries of the rejection regions in a distribution's tails.

各欄位說明

• 信賴水準（%）——例如 95。系統會將它換算成顯著水準 alpha，公式為 \( \alpha = \frac{100 - \text{信賴水準}}{100} \)。95% 的信賴水準對應 \( \alpha = 0.05 \)。
• 分布類型——可選擇常態（Z）、學生 t、卡方（χ²）或 F。
• 自由度——t、卡方與 F 分布皆需填寫。在 F 分布中，此欄為分子自由度。
• 自由度（分母）——僅 F 分布需要使用。

背後的計算公式

計算機使用所選分布的反累積分布函數（即分位數函數）：

• 常態與 t（雙尾）：臨界值 \( = |\text{inverseCDF}(\alpha / 2)| \)。\( \alpha \) 被平均分配到左右兩個尾端。
• 卡方與 F（右尾）：臨界值 \( = \text{inverseCDF}(1 - \alpha) \)，全部的 \( \alpha \) 都放在上尾。

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Different test distributions yield different critical-value shapes.

實際範例

假設你在 95% 信賴水準下進行雙尾 t 檢定，自由度為 20。此時 \( \alpha = \frac{100 - 95}{100} = 0.05 \)，因此 \( \alpha / 2 = 0.025 \)。計算機會在自由度 20 的 t 分布上計算 0.025 的反累積分布函數，並取絕對值，得到的臨界值約為 2.086。如果你的檢定統計量絕對值超過 2.086，就可以拒絕虛無假設。

若改為 95% 信賴水準、自由度 10 的卡方檢定，則計算 \( \text{inverseCDF}(0.95) \approx \) 18.31。

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One-tailed and two-tailed tests place the alpha area differently.

常見問題

為什麼 Z／t 的結果是雙尾的？對於常態與 t 分布，系統會把 \( \alpha \) 除以二，對應標準的雙尾（雙側）檢定。若要進行單尾檢定，可自行調整信賴水準（例如用 90% 來模擬單尾 95% 的界限）。

常態分布需要填自由度嗎？不需要。Z 臨界值只與信賴水準有關。自由度只在 t、卡方與 F 分布中才會用到。

什麼時候要填分母自由度？只有 F 分布需要，因為它同時需要分子與分母兩個自由度（常見於變異數分析 ANOVA 與變異數比較）。