Tổ hợp là gì?
Tổ hợp cho biết số cách chọn một nhóm phần tử từ một tập lớn hơn khi thứ tự chọn không quan trọng. Chọn táo, chuối và anh đào cũng chính là một tổ hợp giống như chọn anh đào, táo và chuối. Ký hiệu thường gặp là \(C(n, r)\), "n chọn r" hay hệ số nhị thức. Máy tính này hoạt động với mọi số nguyên và áp dụng được ở khắp nơi — đây là toán học thuần túy, không phụ thuộc vào quy định riêng của bất kỳ quốc gia nào.
Cách sử dụng máy tính
Nhập tổng số phần tử có sẵn vào ô n và số phần tử bạn muốn chọn vào ô r. Công cụ sẽ trả về số tổ hợp khác nhau, đồng thời tính thêm số chỉnh hợp \(P(n, r)\) — trường hợp thứ tự có được xét đến. Nếu r lớn hơn n, kết quả sẽ bằng 0, vì bạn không thể chọn nhiều phần tử hơn số phần tử thực có.
Giải thích công thức
Công thức tổ hợp là $$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$$ trong đó "!" là giai thừa. Tử số \(n!\) đếm tất cả các cách sắp xếp của toàn bộ tập hợp; chia cho \((n - r)!\) để loại bỏ những phần tử bạn không chọn; chia tiếp cho \(r!\) để loại bỏ các cách sắp xếp trùng lặp của những phần tử đã chọn — chỉ còn lại các nhóm duy nhất. Để tránh phải tính những giai thừa cực lớn, máy tính nhân lần lượt từng số hạng nhằm đảm bảo độ ổn định khi tính toán.
Ví dụ minh họa
Có bao nhiêu bộ 5 lá bài có thể rút ra từ bộ bài 52 lá? Ở đây \(n = 52\) và \(r = 5\). $$C(52, 5) = \frac{52!}{5!\,(47!)} = \frac{52\cdot51\cdot50\cdot49\cdot48}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1} = \frac{311{,}875{,}200}{120} = 2{,}598{,}960$$ bộ bài có thể có.
Câu hỏi thường gặp
Tổ hợp và chỉnh hợp khác nhau ở điểm nào? Chỉnh hợp đếm các cách sắp xếp có thứ tự, còn tổ hợp thì bỏ qua thứ tự. Số chỉnh hợp luôn lớn hơn hoặc bằng số tổ hợp.
\(C(n, 0)\) bằng bao nhiêu? Bằng 1 — có đúng một cách để không chọn gì cả (chính là tập rỗng).
Vì sao \(C(n, r) = C(n, n - r)\)? Việc chọn r phần tử để giữ lại tương đương với việc chọn n − r phần tử để loại ra, nên hai số lượng này bằng nhau.
