組み合わせ（コンビネーション）とは？
組み合わせとは、ある集合の中から複数の要素を選ぶとき、選ぶ順序を区別しない選び方の総数を数えたものです。たとえば「りんご・バナナ・さくらんぼ」を選ぶのと「さくらんぼ・りんご・バナナ」を選ぶのは、同じ1通りの組み合わせとして扱います。これは \( C(n, r) \)、「n個からr個を選ぶ」、あるいは二項係数とも呼ばれます。この計算機はあらゆる自然数に対応し、特定の国や制度に依存しない純粋な数学なので、世界中どこでも同じように使えます。
この計算機の使い方
選べる要素の総数を n に、そのうち選び取る個数を r に入力してください。すると、異なる組み合わせの数が表示され、おまけとして順序を区別する場合の順列の数 \( P(n, r) \) も表示されます。なお \(r\) が \(n\) より大きい場合、存在する個数より多くは選べないため、結果は 0 になります。
公式の解説
組み合わせの公式は $$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$$ で、「!」は階乗を表します。分子の \(n!\) は全体の並べ方をすべて数え、\((n - r)!\) で割ることで選ばなかった要素の並びを取り除き、さらに \(r!\) で割ることで選んだ要素どうしの並び替えの重複を取り除きます。こうして残るのが、重複のないユニークなグループの数です。なお、巨大な階乗の計算による誤差を避けるため、この計算機では比を一項ずつ掛け合わせて数値的に安定させています。
計算例
52枚のトランプから5枚を引くポーカーの手札は何通りあるでしょうか。ここでは \(n = 52\)、\(r = 5\) です。$$C(52, 5) = \frac{52!}{5!\,(47!)} = \frac{52\cdot 51\cdot 50\cdot 49\cdot 48}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} = \frac{311{,}875{,}200}{120} = 2{,}598{,}960$$ 2,598,960通りの手札があります。
よくある質問（FAQ）
組み合わせと順列の違いは？ 順列は順序を区別して並べ方を数えますが、組み合わせは順序を無視します。そのため順列の数は常に組み合わせの数以上になります。
C(n, 0) はいくつ？ 答えは 1 です。「何も選ばない（空集合）」という選び方がちょうど1通りあるからです。
なぜ \( C(n, r) = C(n, n - r) \) になるの？ どの \(r\) 個を「選ぶか」を決めることは、残りの \(n - r\) 個を「選ばずに残すか」を決めることと同じだからです。そのため両者の数は一致します。
