Что такое сочетание?
Сочетание показывает, сколькими способами можно выбрать группу элементов из большего множества, когда порядок выбора не имеет значения. Выбрать яблоки, бананы и вишню — это то же самое сочетание, что и выбрать вишню, яблоки и бананы. Обозначается это как \(C(n, r)\), «из n по r» или биномиальный коэффициент. Калькулятор работает с любыми целыми числами и применим где угодно — это чистая математика без привязки к какой-либо стране.
Как пользоваться калькулятором
Введите общее количество доступных элементов как n, а число, которое нужно выбрать, — как r. Калькулятор покажет количество различных сочетаний, а в качестве бонуса — число размещений \(P(n, r)\), где порядок важен. Если r больше n, результат равен нулю: нельзя выбрать больше элементов, чем их есть всего.
Разбор формулы
Формула сочетаний: $$C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,\left(n - r\right)!}$$ где «!» означает факториал. В числителе \(n!\) учитывает все перестановки полного множества, деление на \((n - r)!\) убирает невыбранные элементы, а деление на \(r!\) устраняет повторяющиеся перестановки выбранных элементов — остаются только уникальные группы. Чтобы не работать с огромными факториалами, калькулятор перемножает отношение по членам, что обеспечивает численную устойчивость.
Разбор примера
Сколько покерных раздач из 5 карт можно составить из колоды в 52 карты? Здесь \(n = 52\) и \(r = 5\). $$C(52, 5) = \frac{52!}{5!\cdot 47!} = \frac{52\cdot 51\cdot 50\cdot 49\cdot 48}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} = \frac{311\,875\,200}{120} = 2\,598\,960$$ возможных раздач.
Частые вопросы
Чем сочетание отличается от размещения? Размещение учитывает порядок элементов, а сочетание — нет. Число размещений всегда больше или равно числу сочетаний.
Чему равно \(C(n, 0)\)? Единице — есть ровно один способ не выбрать ничего (пустое множество).
Почему \(C(n, r) = C(n, n - r)\)? Выбрать, какие r элементов включить, — то же самое, что выбрать, какие n − r элементов оставить за бортом, поэтому количества совпадают.
