Qu'est-ce qu'une combinaison sans répétition ?
Une combinaison sans répétition correspond au nombre de groupes distincts que l'on peut former en choisissant r éléments parmi un ensemble de n éléments différents, lorsque l'ordre de sélection n'a pas d'importance et qu'aucun élément ne peut être pris plus d'une fois. Elle répond à des questions comme « combien de mains de 5 cartes existe-t-il au poker ? » ou « de combien de façons peut-on former un comité de 3 personnes parmi 10 ? »
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le nombre total d'éléments disponibles dans le champ n et le nombre d'éléments que vous souhaitez choisir dans le champ r. Le calculateur affiche aussitôt \(C(n, r)\), le nombre de combinaisons uniques. Attention : \(r\) ne peut pas dépasser \(n\) ; si c'est le cas, le résultat est 0, car on ne peut pas choisir plus d'éléments qu'il n'en existe.
La formule expliquée
La formule s'écrit $$C(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$$ où « ! » désigne la factorielle (le produit de tous les entiers positifs jusqu'au nombre concerné). Le numérateur \(n!\) compte tous les arrangements ordonnés, tandis que la division par \(r!\) élimine les ordres possibles au sein du groupe choisi, et la division par \((n - r)!\) supprime les ordres des éléments laissés de côté. Pour rester précis avec de grands nombres, cet outil calcule le résultat de manière itérative plutôt que d'évaluer directement d'énormes factorielles.
Exemple concret
De combien de façons peut-on choisir 2 garnitures parmi 5 ? $$C(5, 2) = \frac{5!}{2!\,\cdot\,3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = \mathbf{10}.$$ Il existe donc 10 paires distinctes de garnitures.
FAQ
Quelle est la différence entre une combinaison et un arrangement ? Un arrangement (permutation) tient compte de l'ordre (AB ≠ BA) ; une combinaison non (AB = BA). Les combinaisons sont toujours en nombre inférieur ou égal aux arrangements.
Que vaut \(C(n, 0)\) ? Le résultat est 1 — il existe exactement une seule façon de ne rien choisir.
La mention « sans répétition » a-t-elle de l'importance ici ? Oui. Sans répétition signifie que chaque élément ne peut apparaître qu'une seule fois au maximum dans un groupe : c'est le cas standard du nCr que résout ce calculateur.
