Qu'est-ce qu'une permutation avec répétition ?
Une permutation avec répétition (parfois appelée arrangement avec répétition) compte le nombre de dispositions ordonnées que l'on peut former lorsque chaque élément sélectionné est remis dans l'ensemble avant le tirage suivant. Comme les éléments peuvent se répéter et que l'ordre compte, chacune des r positions dispose de la totalité des n choix possibles. Le nombre total d'arrangements est donc $$P = n^r$$
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez deux valeurs : n, le nombre d'éléments distincts disponibles, et r, le nombre de positions ou de tirages à remplir. Le calculateur élève instantanément n à la puissance r et affiche le nombre total de séquences ordonnées possibles.
La formule expliquée
Cette règle découle du principe multiplicatif. Pour la première position, vous avez n possibilités ; comme l'élément est remis en jeu, la deuxième position offre de nouveau n possibilités, et ainsi de suite pour les r positions. La multiplication donne alors \(n \times n \times \ldots \times n\) (r fois) \(= n^r\). Cela diffère des permutations sans répétition, où chaque choix réduit le nombre d'éléments restants.
Exemple concret
Un code PIN à 4 chiffres utilise les chiffres de 0 à 9, et ces chiffres peuvent se répéter. Ici, \(n = 10\) et \(r = 4\), donc $$P = 10^4 = 10\,000$$ codes PIN possibles. De même, un mot de passe de 3 caractères tiré des 26 lettres minuscules, avec répétition autorisée, donne \(26^3 = 17\,576\) combinaisons.
FAQ
Quelle est la différence avec une combinaison ? Les combinaisons ne tiennent pas compte de l'ordre, alors que les permutations le prennent en compte. « AB » et « BA » sont deux permutations différentes, mais une seule et même combinaison.
Et si r est plus grand que n ? Aucun problème avec la répétition : vous pouvez effectuer plus de tirages qu'il n'y a d'éléments distincts, car chaque élément peut être réutilisé, par exemple \(2^5 = 32\).
Que vaut \(n^0\) ? Tout nombre n non nul élevé à la puissance 0 vaut 1 : il existe exactement une seule façon de ne rien choisir (l'arrangement vide).
