다중계승이란?
다중계승(multifactorial)은 곱해지는 인수 사이의 간격(step)을 바꿔서 일반적인 계승을 확장한 개념입니다. 느낌표 k개로 표기하며, 음이 아닌 정수 n의 k-다중계승은 n에서 시작해 매번 k씩 줄어드는 항들을 차례로 곱하되, 항이 1 이상인 동안 계속 곱합니다. 느낌표가 하나면 우리에게 익숙한 계승 \(n!\)이 되고, 두 개면 이중계승 \(n!!\), 세 개·네 개·다섯 개면 각각 삼중계승, 사중계승, 오중계승이 됩니다.
계산기 사용법
"계산" 드롭다운에서 원하는 다중계승을 고르고(이때 간격 \(k\)가 1부터 5까지 정해집니다), 0 이상의 정수 n을 입력한 뒤 정확한 결과를 확인하세요. 이 값들은 매우 빠르게 커지기 때문에 계산기는 임의 정밀도(BigInteger) 연산을 사용합니다. 따라서 입력값이 크더라도 반올림된 근삿값이 아니라 정확한 정수가 그대로 나옵니다. 결과 패널에는 답의 자릿수와 전체 곱셈 전개식도 함께 표시됩니다.
공식 풀어보기
간격 \(k\)에 대한 규칙은 $$n!^{(k)} = n \times (n - k) \times (n - 2k) \times \cdots$$ 입니다. 다르게 말하면, n을 넘지 않으면서 n과 법 \(k\)에 대해 합동인 모든 양의 정수의 곱입니다. 알고리즘은 단순합니다. 1에서 시작해 항이 1 이상인 동안 \(n, n-k, n-2k, \ldots\)를 차례로 곱해 나가면 됩니다.
예제로 보기
10의 이중계승(\(k = 2\))을 구해 봅시다. $$10!! = 10 \times 8 \times 6 \times 4 \times 2 = 3{,}840.$$ 이것은 \((10!)!\)과 전혀 다르다는 점에 주의하세요. \((10!)!\)은 비교할 수 없을 만큼 훨씬 큰 값이 됩니다. 이중계승은 간격이 2인 하나의 곱일 뿐입니다.
자주 묻는 질문
\(n!!\)은 \((n!)!\)과 같은가요? 아닙니다. 이중계승은 간격이 2인 하나의 곱이며, 계승을 두 번 적용하는 것이 아닙니다. 모든 다중계승에 같은 주의가 필요합니다.
\(0!\)은 얼마인가요? 공곱(empty product) 규칙에 따라, 어떤 다중계승이든 0에 대한 값은 \(0! = 1\)과 마찬가지로 1입니다.
왜 결과가 이렇게 긴가요? 계승과 그 친척 함수들은 지수함수보다도 빠르게 커지기 때문에, 입력값이 그리 크지 않아도 수백 자리 또는 수천 자리의 숫자가 나올 수 있습니다. 이 계산기는 모든 자릿수를 정확하게 유지합니다.
