Giai thừa bội là gì?
Giai thừa bội (multifactorial) là dạng tổng quát hóa của giai thừa thông thường, bằng cách thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong tích. Được ký hiệu bằng k dấu chấm than, giai thừa bội bậc k của một số nguyên không âm n nhân n với các số hạng kế tiếp, mỗi số nhỏ hơn số trước đúng k đơn vị, và phép nhân tiếp tục chừng nào số hạng vẫn còn lớn hơn hoặc bằng 1. Với một dấu chấm than, bạn có giai thừa quen thuộc n!; hai dấu cho giai thừa kép n!!; còn ba, bốn và năm dấu lần lượt là giai thừa bậc ba, bậc bốn và bậc năm.
Cách dùng máy tính này
Hãy chọn loại giai thừa bội bạn cần từ danh sách "Tính toán" (thao tác này sẽ thiết lập khoảng cách k từ 1 đến 5), nhập một số nguyên n bằng 0 hoặc lớn hơn, rồi xem ngay kết quả chính xác. Vì các giá trị này tăng cực kỳ nhanh, máy tính sử dụng số học độ chính xác tùy ý (BigInteger), nên ngay cả với đầu vào lớn, kết quả vẫn là một số nguyên chính xác chứ không phải giá trị làm tròn gần đúng. Khung kết quả cũng hiển thị đáp án có bao nhiêu chữ số cùng với toàn bộ khai triển nhân ra chi tiết.
Công thức giải thích
Với khoảng cách \(k\), quy tắc là $$n!^{(k)} = n \times (n - k) \times (n - 2k) \times \cdots$$ Nói cách khác, đó là tích của tất cả các số nguyên dương không vượt quá n và đồng dư với n theo modulo k. Thuật toán rất đơn giản: bắt đầu từ 1, sau đó lần lượt nhân với các số hạng = n, n-k, n-2k, ... chừng nào số hạng vẫn còn lớn hơn hoặc bằng 1.
Ví dụ minh họa
Với giai thừa kép (k = 2) của 10: $$10!! = 10 \times 8 \times 6 \times 4 \times 2 = 3{.}840$$ Lưu ý rằng giá trị này không giống với (10!)!, vốn sẽ lớn đến mức khủng khiếp. Giai thừa kép chỉ là một tích duy nhất với khoảng cách 2.
Câu hỏi thường gặp
n!! có giống (n!)! không? Không. Giai thừa kép là một tích duy nhất với khoảng cách bằng 2; nó không phải là lấy giai thừa hai lần. Lưu ý tương tự cũng áp dụng cho mọi giai thừa bội.
0! bằng bao nhiêu? Theo quy ước tích rỗng, giai thừa bội bất kỳ của 0 đều bằng 1, đúng như \(0! = 1\).
Vì sao đáp án lại dài đến vậy? Giai thừa và các dạng liên quan tăng nhanh hơn cả hàm mũ, nên ngay cả những đầu vào khá nhỏ cũng có thể tạo ra số có hàng trăm hoặc hàng nghìn chữ số. Công cụ này giữ chính xác từng chữ số.
