Çoklu faktöriyel nedir?
Çoklu faktöriyel, çarpımdaki çarpanlar arasındaki adım büyüklüğünü değiştirerek sıradan faktöriyeli genelleştirir. k tane ünlem işaretiyle yazılan k-çoklu faktöriyeli, negatif olmayan bir n tam sayısını, her biri bir öncekinden k kadar azalan ardışık terimlerle çarpar; bu işlem terim en az 1 olduğu sürece sürer. Tek ünlem işareti bildiğimiz faktöriyeli, yani \(n!\) değerini verir; iki ünlem çift faktöriyeli \(n!!\); üç, dört ve beş ünlem ise sırasıyla üçlü, dörtlü ve beşli faktöriyeli verir.
Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?
"Hesapla" açılır menüsünden hangi çoklu faktöriyeli istediğinizi seçin (bu, adım büyüklüğü k'yı 1 ile 5 arasında ayarlar), sıfır veya daha büyük bir tam sayı n girin ve tam sonucu görün. Bu değerler son derece hızlı büyüdüğü için araç, keyfi hassasiyetli (BigInteger) aritmetik kullanır; böylece çok büyük girdiler bile yuvarlanmış bir yaklaşım yerine tam tam sayı olarak döner. Sonuç panelinde ayrıca cevabın kaç basamaktan oluştuğu ve tüm çarpımın eksiksiz açılımı gösterilir.
Formülün açıklaması
k adım büyüklüğü için kural şudur:
$$n!^{(k)} = n \times (n - k) \times (n - 2k) \times \cdots$$Eşdeğer olarak bu, n'yi aşmayan ve k modülünde n ile aynı kalanı veren tüm pozitif tam sayıların çarpımıdır:
$$n!^{(k)} = \prod_{i \ge 0,\; n - ik \ge 1} (n - ik)$$Algoritma basittir: 1 ile başlayın, ardından terim en az 1 olduğu sürece sırasıyla \(n\), \(n-k\), \(n-2k\), ... ile çarpın.
Çözümlü örnek
10 sayısının çift faktöriyeli (\(k = 2\)) için:
$$10!! = 10 \times 8 \times 6 \times 4 \times 2 = 3.840$$Dikkat edin, bu \((10!)!\) ile aynı değildir; o değer astronomik ölçüde daha büyük olurdu. Çift faktöriyel, adımı 2 olan tek bir çarpımdır.
Sıkça sorulan sorular
\(n!!\), \((n!)!\) ile aynı şey midir? Hayır. Çift faktöriyel, adımı 2 olan tek bir çarpımdır; faktöriyelin iki kez uygulanması değildir. Aynı uyarı tüm çoklu faktöriyeller için geçerlidir.
\(0!\) kaçtır? Boş çarpım kuralı gereği, herhangi bir çoklu faktöriyelin 0 değeri tıpkı \(0! = 1\) gibi 1'e eşittir.
Cevap neden bu kadar uzun? Faktöriyeller ve türevleri üstel fonksiyonlardan bile daha hızlı büyür; bu yüzden küçük girdiler bile yüzlerce ya da binlerce basamaklı sayılar üretebilir. Bu araç her basamağı tam olarak korur.
