Калькулятор мультифакториала

Введите расчет

Вычислить n! — факториал n!! — двойной факториал n!!! — тройной факториал n!!!! — четверной факториал n!!!!! — пятерной факториал

n =

Математическая формула

Show calculation steps (1)

1. Double factorial

   

   The k=2 case: multiply every second integer down to 2 (n even) or 1 (n odd).

Результатов

Ответ

3840

4 digit(s)

Разложение	10!! = 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3840

Что такое мультифакториал?

Мультифакториал — это обобщение обычного факториала, в котором меняется шаг между множителями в произведении. Обозначаемый k восклицательными знаками, k-мультифакториал неотрицательного целого числа n умножает n на последовательные множители, каждый из которых меньше предыдущего на k, и так до тех пор, пока множитель не станет меньше 1. С одним восклицательным знаком получается привычный факториал \(n!\); два знака дают двойной факториал \(n!!\); три, четыре и пять — тройной, четверной и пятерной факториалы соответственно.

Каждый мультифакториал убывает на свою величину \(k\): 1 для \(n!\), 2 для \(n!!\), 3 для \(n!!!\).

Как пользоваться калькулятором

Выберите нужный мультифакториал в списке «Вычислить» (это задаёт шаг \(k\) от 1 до 5), введите целое число \(n\), равное нулю или больше, и получите точный результат. Поскольку такие значения растут чрезвычайно быстро, калькулятор использует арифметику произвольной точности (BigInteger), поэтому даже для больших входных данных вы получаете точное целое число, а не округлённое приближение. В панели результата также показано, сколько цифр содержит ответ, и приведено полное разложение в виде произведения.

Разбор формулы

Для шага \(k\) правило выглядит так:

$$n!^{(k)} = n \times (n - k) \times (n - 2k) \times \cdots$$

Иначе говоря, это произведение всех натуральных чисел, не превосходящих \(n\), которые дают тот же остаток при делении на \(k\), что и само \(n\). Алгоритм прост: начните с 1, а затем умножайте на множители \(n, n-k, n-2k, \ldots\) пока множитель не меньше 1.

Реклама

\(k\)-й мультифакториал перемножает члены, убывающие на \(k\), пока не достигнет 1 или \(k\).

Пример с решением

Двойной факториал (\(k = 2\)) числа 10:

$$10!! = 10 \times 8 \times 6 \times 4 \times 2 = 3\,840$$

Обратите внимание: это не то же самое, что \((10!)!\), значение которого было бы астрономически больше. Двойной факториал — это одно произведение с шагом 2.

Частые вопросы

Равно ли \(n!!\) значению \((n!)!\)? Нет. Двойной факториал — это одно произведение с шагом 2; это не факториал, применённый дважды. То же предостережение справедливо и для всех остальных мультифакториалов.

Чему равно \(0!\)? По соглашению о пустом произведении любой мультифакториал нуля равен 1 — точно так же, как \(0! = 1\).

Почему ответ такой длинный? Факториалы и родственные им функции растут быстрее экспоненты, поэтому даже сравнительно небольшие входные данные могут давать числа с сотнями или тысячами цифр. Этот инструмент сохраняет точность до последней цифры.