この計算ツールでできること
このツールは、全部で n 個ある中から r 個を選ぶときの 順列（nPr） と 組み合わせ（nCr） の両方を計算します。順列は「並べる順番を区別した場合の総数」、組み合わせは「順番を区別しない選び方の総数」を表します。あわせて n の階乗（n!）も参考値として表示します。
使い方
全体の個数 n と、そこから選ぶ個数 r を入力します（\(0 \le r \le n\)）。「計算」をクリックすると nPr と nCr が表示されます。r が n より大きい場合、存在する個数より多く選ぶことはできないため、結果は 0 になります。
計算式の解説
階乗 n! とは、1 から n までのすべての正の整数を掛け合わせた値です（例：\(5! = 5\times4\times3\times2\times1 = 120\)）。順列は次の式で求めます。
$$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$順番が重要なので、選んだ2つを入れ替えると別の並びとして数えます。組み合わせは次の式です。
$$C(n,r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$順番を問わないため、r! で割って重複する並び順を取り除いています。
計算例
\(n = 5\)、\(r = 2\) の場合を考えてみましょう。順列は次のようになります。
$$P(5,2) = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$$20 通りの並びになります。組み合わせは次のようになります。
$$C(5,2) = \frac{5!}{2! \times 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10$$10 通りの選び方です。1つの組み合わせは r! 通りに並べ替えられるため、nPr は常に nCr 以上になることに注目してください。
よくある質問
順列と組み合わせは、どんなときに使い分ければよいですか？ 順番が重要なとき（順位、パスワード、レースのゴール順など）は順列を、順番が関係ないとき（宝くじの数字選び、委員会の選出、配られたカードの組など）は組み合わせを使います。
r = 0 のときはどうなりますか？ nPr も nCr も 1 になります。「何も選ばない」という選び方がちょうど1通りだけ存在するからです。
n はどこまで指定できますか？ 階乗は非常に速い勢いで大きくなるため、この計算ツールは浮動小数点の範囲を超えない \(n = 170\) までに対応しています。
