Qu'est-ce qu'une combinaison avec répétition ?
Les combinaisons avec répétition comptent le nombre de façons de choisir r éléments parmi n types distincts lorsque l'on peut sélectionner plusieurs fois le même type et que l'ordre du choix n'a aucune importance. Cette quantité se note généralement nHr et porte aussi le nom de coefficient multiensemble. Elle répond à des questions du type : « combien de boules de glace différentes puis-je composer à partir de 4 parfums si j'en prends 2 et que les répétitions sont autorisées ? »
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le nombre de types distincts n (au moins 1) ainsi que le nombre d'éléments que vous souhaitez choisir r (zéro ou plus). Cliquez sur « Calculer » et l'outil renvoie nHr, le nombre exact de multiensembles distincts. Les deux valeurs sont de simples entiers positifs ou nuls : il n'y a aucune unité à convertir.
La formule expliquée
L'identité fondamentale est $$\overline{C}(n,r) = \binom{n + r - 1}{r} = \frac{\left(\text{Types }(n) + \text{Choose }(r) - 1\right)!}{\text{Choose }(r)!\,\left(\text{Types }(n) - 1\right)!}$$ L'astuce : en alignant les r éléments choisis et les \((n - 1)\) séparateurs entre les types, on obtient \(n + r - 1\) positions, et il suffit de décider où placer les éléments (ou les séparateurs). Pour éviter d'énormes factorielles, ce calculateur évalue le coefficient binomial à l'aide d'une boucle multiplicative stable : on multiplie par \((m - k + i)\) et on divise par \(i\) pour \(i = 1..k\), où \(m = n + r - 1\) et \(k = \min(r, n - 1)\).
Exemple détaillé
Avec les valeurs par défaut \(n = 4\), \(r = 2\) : $$nHr = \binom{4 + 2 - 1}{2} = \binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$$ Les dix combinaisons à partir des types {a, b, c, d} sont : aa, ab, ac, ad, bb, bc, bd, cc, cd, dd.
Questions fréquentes
En quoi est-ce différent des combinaisons classiques ? Les combinaisons ordinaires \(C(n, r)\) interdisent la répétition : chaque élément est choisi au plus une fois. Ici, la répétition est permise, ce qui donne un résultat plus élevé.
Et si r = 0 ? Il existe exactement une combinaison : la sélection vide, donc \(nHr = 1\).
Et si n = 1 ? Avec un seul type, vous devez le choisir r fois : il n'existe donc qu'un seul multiensemble et \(nHr = 1\) quel que soit r.
