Kürenin Denklemi Nedir?
Küre, 3 boyutlu uzayda tek bir merkez noktasından sabit bir uzaklıkta (yarıçap kadar) bulunan tüm noktaların kümesidir. Standart form denklemi $$\left(x - \text{h}\right)^2 + \left(y - \text{k}\right)^2 + \left(z - \text{l}\right)^2 = \text{r}^{\,2}$$ şeklindedir; burada (h, k, l) merkezi, r ise yarıçapı temsil eder. Bu hesaplama aracı bu denklemi sizin için oluşturur ve ayrıca kürenin çapını, yüzey alanını ve hacmini de hesaplar.
Bu Aracı Nasıl Kullanırsınız?
Merkezin üç koordinatını — h (x), k (y) ve l (z) — girin, ardından yarıçap r değerini yazın. Araç, girdiğiniz değerleri standart formda yerine koyar ve tamamlanmış denklemi sağ tarafta \(\text{r}^2\) ile birlikte gösterir. Merkez koordinatları negatif olabilir; örneğin h = −3 olduğunda denklem doğru biçimde \(\left(x + 3\right)^2\) olarak görüntülenir.
Formülün Açıklaması
Denklem, doğrudan 3 boyutlu uzaklık formülünden gelir. Küre üzerindeki herhangi bir (x, y, z) noktası ile merkez (h, k, l) arasındaki uzaklık r'ye eşittir. Uzaklık denkleminin her iki tarafının karesi alındığında karekök ortadan kalkar ve sade standart form elde edilir. Yarıçap r her zaman negatif olmayan bir değerdir ve \(\text{r}^2\), denklemin sağ tarafındaki sabittir.
Çözümlü Örnek
Diyelim ki bir kürenin merkezi (2, −1, 3) ve yarıçapı 5 olsun. Değerleri yerine koyduğumuzda $$\left(x - 2\right)^2 + \left(y - \left(-1\right)\right)^2 + \left(z - 3\right)^2 = 5^2$$ elde edilir; bu da $$\left(x - 2\right)^2 + \left(y + 1\right)^2 + \left(z - 3\right)^2 = 25$$ şeklinde sadeleşir. Çap 10, yüzey alanı \(4\pi(25) \approx 314{,}16\) ve hacim ise \(\frac{4}{3}\pi(125) \approx 523{,}60\) olur.
Sıkça Sorulan Sorular
Merkez başlangıç noktasında (orijinde) ise ne olur? Bu durumda h = k = l = 0 olur ve denklem \(x^2 + y^2 + z^2 = \text{r}^2\) şeklinde sadeleşir.
Yarıçap sıfır olabilir mi? Yarıçapın 0 olması, gerçek bir yüzeyi değil tek bir noktayı (dejenere bir küreyi) tanımlar.
Bunun bir çemberden farkı nedir? Çember 2 boyutludur ve iki koordinat kullanır; küre ise 3 boyutludur ve \(\left(z - \text{l}\right)^2\) terimini ekleyerek z koordinatını da içerir.
