구의 방정식이란?
구는 3차원 공간에서 하나의 중심점으로부터 일정한 거리(반지름)만큼 떨어진 모든 점의 집합입니다. 표준형 방정식은 \(\left(x - \text{h}\right)^2 + \left(y - \text{k}\right)^2 + \left(z - \text{l}\right)^2 = \text{r}^{\,2}\)로 나타내며, 여기서 (h, k, l)은 중심, r은 반지름입니다. 이 계산기는 입력한 값으로 방정식을 자동으로 완성해 줄 뿐 아니라 구의 지름, 겉넓이, 부피까지 함께 알려 줍니다.
계산기 사용 방법
먼저 중심의 세 좌표 — h(x), k(y), l(z) — 를 입력한 뒤 반지름 r을 입력하세요. 계산기가 입력값을 표준형에 대입해 완성된 방정식과 우변의 r² 값을 함께 보여 줍니다. 중심에는 음수도 사용할 수 있으며, 예를 들어 h가 −3이면 방정식이 \(\left(x + 3\right)^2\) 형태로 정확히 표시됩니다.
공식 풀어보기
이 방정식은 3차원 거리 공식에서 곧바로 유도됩니다. 구 위의 임의의 점 (x, y, z)와 중심 (h, k, l) 사이의 거리는 항상 r과 같습니다. 거리 식의 양변을 제곱하면 제곱근이 사라지면서 깔끔한 표준형이 나옵니다. 반지름 r은 항상 0 이상이며, r²은 우변에 놓이는 상수입니다.
예제로 풀어보기
중심이 (2, −1, 3)이고 반지름이 5인 구를 생각해 봅시다. 값을 대입하면 $$\left(x - 2\right)^2 + \left(y - (-1)\right)^2 + \left(z - 3\right)^2 = 5^2$$이 되고, 이를 정리하면 $$\left(x - 2\right)^2 + \left(y + 1\right)^2 + \left(z - 3\right)^2 = 25$$가 됩니다. 이때 지름은 10, 겉넓이는 \(4\pi(25) \approx 314.16\), 부피는 \(\frac{4}{3}\pi(125) \approx 523.60\)입니다.
자주 묻는 질문
중심이 원점에 있으면 어떻게 되나요? 그러면 h = k = l = 0이 되어 방정식은 \(x^2 + y^2 + z^2 = \text{r}^{\,2}\)로 간단해집니다.
반지름이 0일 수도 있나요? 반지름이 0이면 진정한 곡면이 아니라 하나의 점(퇴화한 구)을 나타냅니다.
원과는 어떻게 다른가요? 원은 2차원으로 두 개의 좌표를 사용하지만, 구는 3차원이며 z항인 \(\left(z - \text{l}\right)^2\)이 추가됩니다.
