Phương trình mặt cầu là gì?
Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian ba chiều cách đều một điểm cố định (tâm) một khoảng không đổi gọi là bán kính. Phương trình chuẩn tắc của mặt cầu có dạng \((x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2\), trong đó (h, k, l) là tọa độ tâm và r là bán kính. Công cụ này sẽ tự động lập phương trình đó cho bạn, đồng thời cho biết đường kính, diện tích bề mặt và thể tích của mặt cầu.
Cách sử dụng máy tính
Nhập ba tọa độ của tâm — h (x), k (y) và l (z) — sau đó nhập bán kính r. Công cụ sẽ thay các giá trị bạn nhập vào dạng chuẩn tắc và hiển thị phương trình hoàn chỉnh cùng với \(r^2\) ở vế phải. Tọa độ tâm có thể là số âm; khi đó phương trình vẫn được viết đúng, ví dụ \((x + 3)^2\) khi h bằng −3.
Giải thích công thức
Phương trình này xuất phát trực tiếp từ công thức tính khoảng cách trong không gian ba chiều. Khoảng cách giữa một điểm bất kỳ (x, y, z) nằm trên mặt cầu và tâm (h, k, l) luôn bằng r. Bình phương hai vế của phương trình khoảng cách sẽ khử dấu căn và cho ra dạng chuẩn tắc gọn gàng. Bán kính r luôn không âm, còn \(r^2\) chính là hằng số ở vế phải.
Ví dụ minh họa
Giả sử một mặt cầu có tâm tại (2, −1, 3) và bán kính 5. Thay vào công thức ta được $$(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 + (z - 3)^2 = 5^2,$$ rút gọn thành $$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 25.$$ Khi đó, đường kính bằng 10, diện tích bề mặt là \(4\pi(25) \approx 314{,}16\), và thể tích là \(\frac{4}{3}\pi(125) \approx 523{,}60\).
Câu hỏi thường gặp
Nếu tâm nằm tại gốc tọa độ thì sao? Khi đó \(h = k = l = 0\) và phương trình rút gọn thành \(x^2 + y^2 + z^2 = r^2\).
Bán kính có thể bằng 0 không? Bán kính bằng 0 chỉ mô tả một điểm duy nhất (mặt cầu suy biến), chứ không phải một mặt cầu thực sự.
Mặt cầu khác đường tròn ở điểm nào? Đường tròn là hình phẳng (2 chiều) và dùng hai tọa độ; còn mặt cầu là khối trong không gian (3 chiều) và có thêm số hạng theo trục z là \((z - l)^2\).
