Что такое уравнение сферы?
Сфера — это множество всех точек трёхмерного пространства, удалённых на одно и то же расстояние (радиус) от заданного центра. Её каноническое уравнение имеет вид \((x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2\), где (h, k, l) — координаты центра, а r — радиус. Этот калькулятор сам составит такое уравнение, а заодно покажет диаметр, площадь поверхности и объём сферы.
Как пользоваться калькулятором
Введите три координаты центра — h (по оси x), k (по оси y) и l (по оси z), — а затем укажите радиус r. Инструмент подставит ваши значения в каноническую форму и выведет готовое уравнение вместе с величиной \(r^2\) в правой части. Координаты центра могут быть отрицательными: например, при h = −3 в уравнении корректно появится слагаемое \((x + 3)^2\).
Разбор формулы
Уравнение напрямую следует из формулы расстояния в трёхмерном пространстве. Расстояние от любой точки (x, y, z), лежащей на сфере, до центра (h, k, l) равно радиусу r. Если возвести обе части равенства в квадрат, корень исчезает, и мы получаем компактную каноническую форму. Радиус r всегда неотрицателен, а \(r^2\) — это постоянная в правой части уравнения.
Пример с решением
Пусть сфера имеет центр в точке (2, −1, 3) и радиус 5. После подстановки получаем $$(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 + (z - 3)^2 = 5^2,$$ что упрощается до $$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 25.$$ Диаметр равен 10, площадь поверхности — \(4\pi(25) \approx 314{,}16\), а объём — \(\frac{4}{3}\pi(125) \approx 523{,}60\).
Частые вопросы
А если центр находится в начале координат? Тогда h = k = l = 0, и уравнение упрощается до \(x^2 + y^2 + z^2 = r^2\).
Может ли радиус быть равным нулю? При радиусе 0 уравнение описывает одну-единственную точку (вырожденную сферу), а не настоящую поверхность.
Чем сфера отличается от окружности? Окружность — это двумерная фигура с двумя координатами, а сфера трёхмерна и добавляет третье слагаемое \((z - l)^2\).
