Ce que fait ce calculateur
Cet outil prend un nombre complexe \(z\) et renvoie deux grandeurs fondamentales : son conjugué et son module (valeur absolue). Vous pouvez saisir \(z\) sous forme cartésienne, par exemple 3+4i, -2-5i, 7 ou 4i, ou sous forme polaire/exponentielle, comme 5e^(0.9273i), l'angle étant exprimé en radians.
Mode d'emploi
Saisissez votre nombre complexe dans le champ prévu, puis choisissez le nombre de chiffres significatifs à afficher dans le résultat (10 par défaut). Le calculateur identifie la partie réelle \(a\) et la partie imaginaire \(b\), puis calcule les deux résultats. Le réglage des chiffres significatifs n'agit que sur l'affichage du résultat, jamais sur le calcul lui-même.
Les formules expliquées
Pour \(z = a + bi\), le conjugué s'obtient en changeant le signe de la partie imaginaire : \(\operatorname{conj}(z) = a - bi\). Le module correspond à la distance de Pythagore du point \((a, b)\) à l'origine : \(|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\). Pour un nombre sous forme polaire \(r\cdot e^{\theta i}\), on convertit d'abord avec \(a = r\cdot\cos(\theta)\) et \(b = r\cdot\sin(\theta)\).
$$\bar{z} = a - b\,i, \qquad |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$ $$\text{où}\quad z = a + b\,i$$
Exemple résolu
Prenons \(z = 3 + 4i\), donc \(a = 3\) et \(b = 4\). Le conjugué inverse le signe de la partie imaginaire et donne \(3 - 4i\). Le module vaut $$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$$ Une saisie polaire de 5e^(0.9273i) donne le même point, car \(5\cdot\cos(0.9273) \approx 3\) et \(5\cdot\sin(0.9273) \approx 4\).
FAQ
Le module peut-il être négatif ? Non. Comme il s'agit d'une distance, il est toujours supérieur ou égal à zéro.
Quel est le conjugué d'un nombre réel ? Puisque \(b = 0\), le conjugué est égal au nombre lui-même.
Quelle unité d'angle utilise la forme polaire ? Le radian. Par exemple, \(e^{3.14159i}\) vaut environ \(-1\).
