Ce que fait ce calculateur
Cet outil part de la longueur de l'arête de l'un des cinq polyèdres réguliers (solides de Platon) et renvoie quatre grandeurs géométriques : le volume, la surface, le rayon de la sphère inscrite (la plus grande sphère qui tient à l'intérieur en touchant chaque face) et le rayon de la sphère circonscrite (la plus petite sphère qui l'englobe en passant par chaque sommet). Les mathématiques sont universelles : elles s'appliquent à l'identique dans tous les pays et les résultats sont donnés en notation décimale ordinaire.
Les cinq solides de Platon
Un solide de Platon possède des faces identiques, toutes des polygones réguliers, qui se rejoignent de la même façon à chaque sommet. Il en existe exactement cinq : le tétraèdre régulier (4 triangles), le cube ou hexaèdre régulier (6 carrés), l'octaèdre régulier (8 triangles), le dodécaèdre régulier (12 pentagones) et l'icosaèdre régulier (20 triangles).
Comment l'utiliser
Choisissez le polyèdre dans la liste déroulante, saisissez la longueur de l'arête, puis sélectionnez son unité (mm, cm, m, in ou ft). L'arête est convertie en mètres en interne ; les résultats sont donc exprimés en unités SI : volume en m³, surface en m² et les deux rayons en m. Chaque résultat est un coefficient fixe multiplié par une puissance de l'arête : le volume est proportionnel à \(a^{3}\), la surface à \(a^{2}\), et les deux rayons à \(a\).
Les formules expliquées
Pour le tétraèdre régulier,
$$V = \frac{\sqrt{2}}{12}\cdot a^{3} \approx 0{,}117851\cdot a^{3}, \quad S = \sqrt{3}\cdot a^{2} \approx 1{,}732051\cdot a^{2},$$tandis que \(r_{in} = \frac{\sqrt{6}}{12}\cdot a\) et \(r_{out} = \frac{\sqrt{6}}{4}\cdot a\). Chacun des quatre autres solides possède ses propres coefficients en forme close (le cube est le plus simple : \(V = a^{3}\), \(S = 6a^{2}\), \(r_{in} = a/2\), \(r_{out} = \frac{\sqrt{3}}{2}a\)). Pour chaque solide, le rayon de la sphère circonscrite est strictement supérieur à celui de la sphère inscrite.
Exemple concret
Prenons un cube d'arête \(a = 2\) m. Volume :
$$V = 2^{3} = 8 \text{ m}^{3}.$$Surface :
$$S = 6 \times 2^{2} = 24 \text{ m}^{2}.$$Rayon de la sphère inscrite :
$$r = \frac{2}{2} = 1 \text{ m}.$$Rayon de la sphère circonscrite :
$$R = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \sqrt{3} \approx 1{,}732051 \text{ m}.$$FAQ
Quelle est la différence entre les deux rayons de sphère ? Le rayon inscrit correspond à la sphère qui effleure chaque face depuis l'intérieur ; le rayon circonscrit correspond à la sphère qui passe par tous les sommets.
Puis-je saisir une arête en pouces ou en pieds ? Oui : sélectionnez l'unité et la valeur est convertie en mètres avant le calcul, de sorte que tous les résultats restent en unités SI.
Que se passe-t-il si je saisis une arête nulle ou négative ? Un solide doit avoir une arête strictement positive ; le calculateur signale donc toute valeur non positive comme invalide.
