ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تأخذ هذه الأداة طول حرف أيٍّ من متعددات السطوح المنتظمة الخمسة (المجسمات الأفلاطونية) وتُرجع لك أربع قيم هندسية: الحجم، والمساحة السطحية، ونصف قطر الكرة الداخلية (أكبر كرة تتسع داخل المجسم وتلامس كل وجه من أوجهه)، ونصف قطر الكرة الخارجية (أصغر كرة تحيط بالمجسم وتمر بكل رأس من رؤوسه). الرياضيات هنا كونية لا تتغير — فهي تنطبق بالطريقة ذاتها في كل بلد، وتُعطي النتائج بالنظام العشري المعتاد.
المجسمات الأفلاطونية الخمسة
المجسم الأفلاطوني هو مجسم تتكوّن أوجهه من مضلعات منتظمة متطابقة تلتقي بالطريقة نفسها عند كل رأس. وهي خمسة فقط لا غير: رباعي الأوجه المنتظم (4 مثلثات)، والمكعب أو سداسي الأوجه المنتظم (6 مربعات)، وثماني الأوجه المنتظم (8 مثلثات)، واثنا عشري الأوجه المنتظم (12 مخمّسًا)، وعشروني الأوجه المنتظم (20 مثلثًا).
كيفية الاستخدام
اختر نوع المجسم من القائمة المنسدلة، ثم اكتب طول الحرف وحدّد وحدته (mm أو cm أو m أو in أو ft). يجري تحويل الحرف داخليًّا إلى المتر، لذا تأتي النتائج بوحدات النظام الدولي: الحجم بـ m³، والمساحة السطحية بـ m²، ونصفا القطرين بـ m. كل ناتج عبارة عن معامل ثابت مضروب في قوة من طول الحرف: فالحجم يتناسب مع \(a^{3}\)، والمساحة مع \(a^{2}\)، ونصفا القطرين مع \(a\).
شرح المعادلات
بالنسبة إلى رباعي الأوجه المنتظم:
$$V = \frac{\sqrt{2}}{12}\cdot a^{3} \approx 0.117851\cdot a^{3} \quad\text{و}\quad S = \sqrt{3}\cdot a^{2} \approx 1.732051\cdot a^{2}$$بينما \(r_{in} = \frac{\sqrt{6}}{12}\cdot a\) و \(r_{out} = \frac{\sqrt{6}}{4}\cdot a\). ولكلٍّ من المجسمات الأربعة الأخرى معاملاته الخاصة بصيغة مغلقة (والمكعب هو الأبسط: \(V = a^{3}\)، \(S = 6a^{2}\)، \(r_{in} = a/2\)، \(r_{out} = \frac{\sqrt{3}}{2}a\)). وفي جميع المجسمات يكون نصف القطر الخارجي أكبر دائمًا من نصف القطر الداخلي.
مثال محلول
لنأخذ مكعبًا طول حرفه \(a = 2 \text{ m}\). الحجم:
$$V = 2^{3} = 8 \text{ m}^{3}$$المساحة السطحية:
$$S = 6 \times 2^{2} = 24 \text{ m}^{2}$$نصف القطر الداخلي:
$$r = \frac{2}{2} = 1 \text{ m}$$نصف القطر الخارجي:
$$R = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \sqrt{3} \approx 1.732051 \text{ m}$$الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين نصفي قطر الكرتين؟ نصف القطر الداخلي يقيس الكرة الداخلية التي تلامس كل وجه من الداخل بالضبط، أمّا نصف القطر الخارجي فيقيس الكرة التي تمر بجميع الرؤوس.
هل يمكنني إدخال طول الحرف بالبوصة أو القدم؟ نعم — اختر الوحدة المناسبة، وسيُحوَّل المُدخَل إلى المتر قبل الحساب، لتأتي جميع النتائج بوحدات النظام الدولي.
ماذا يحدث إذا أدخلت قيمة صفرية أو سالبة للحرف؟ لا بد أن يكون طول حرف المجسم موجبًا تمامًا، لذا تعتبر الحاسبة أي قيمة غير موجبة مُدخلًا غير صالح.
