Qué hace esta calculadora
Esta herramienta parte de la longitud de la arista de cualquiera de los cinco poliedros regulares (sólidos platónicos) y devuelve cuatro magnitudes geométricas: el volumen, el área superficial, el radio de la esfera inscrita (la mayor esfera que cabe en su interior y toca todas las caras) y el radio de la esfera circunscrita (la menor esfera que lo contiene y pasa por todos los vértices). Las matemáticas son universales: se aplican exactamente igual en cualquier país y los resultados se muestran como números decimales corrientes.
Los cinco sólidos platónicos
Un sólido platónico tiene caras idénticas formadas por polígonos regulares que se encuentran de la misma manera en cada vértice. Existen exactamente cinco: el tetraedro regular (4 triángulos), el cubo o hexaedro regular (6 cuadrados), el octaedro regular (8 triángulos), el dodecaedro regular (12 pentágonos) y el icosaedro regular (20 triángulos).
Cómo usarla
Elige el poliedro en el menú desplegable, escribe la longitud de la arista y selecciona su unidad (mm, cm, m, in o ft). La arista se convierte internamente a metros, de modo que los resultados se expresan en el SI: el volumen en m³, el área superficial en m² y ambos radios en m. Cada resultado es un coeficiente fijo multiplicado por una potencia de la arista: el volumen es proporcional a \(a^{3}\), el área a \(a^{2}\), y ambos radios a \(a\).
Las fórmulas, explicadas
Para el tetraedro regular, $$V = \frac{\sqrt{2}}{12}\cdot a^{3} \approx 0{,}117851\cdot a^{3}, \quad S = \sqrt{3}\cdot a^{2} \approx 1{,}732051\cdot a^{2},$$ mientras que \(r_{in} = \frac{\sqrt{6}}{12}\cdot a\) y \(r_{out} = \frac{\sqrt{6}}{4}\cdot a\). Cada uno de los otros cuatro sólidos tiene sus propios coeficientes en forma cerrada (el cubo es el más sencillo: \(V = a^{3}\), \(S = 6a^{2}\), \(r_{in} = a/2\), \(r_{out} = \frac{\sqrt{3}}{2}a\)). En todos los sólidos, el radio circunscrito es siempre estrictamente mayor que el radio inscrito.
Ejemplo resuelto
Tomemos un cubo de arista \(a = 2\) m. $$\text{Volumen} = 2^{3} = 8 \text{ m}^{3}.$$ $$\text{Área superficial} = 6 \times 2^{2} = 24 \text{ m}^{2}.$$ $$\text{Radio inscrito} = 2/2 = 1 \text{ m}.$$ $$\text{Radio circunscrito} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \sqrt{3} \approx 1{,}732051 \text{ m}.$$
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre los dos radios de esfera? El radio inscrito mide la esfera interior que apenas toca cada cara desde dentro; el radio circunscrito mide la esfera que pasa por todos los vértices.
¿Puedo introducir la arista en pulgadas o pies? Sí: elige la unidad y el valor se convierte a metros antes de calcular, de modo que todos los resultados se expresan en el SI.
¿Qué pasa si introduzco una arista cero o negativa? Un sólido debe tener una arista estrictamente positiva, así que la calculadora marca como no válido cualquier valor que no sea positivo.
