Üçgensel Sayı Nedir?
Üçgensel sayı, eşkenar bir üçgen biçiminde dizilebilen nesnelerin sayısını ifade eder. T(n) olarak gösterilen n. üçgensel sayı, 1'den n'e kadar olan tüm pozitif tam sayıların toplamıdır. Dizi 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 şeklinde başlar; her terim bir sonraki tam sayıyı ekler. Bu hesaplama aracı, gireceğiniz herhangi bir negatif olmayan tam sayı için T(n) değerini verir.
Hesaplama Aracı Nasıl Kullanılır?
Terim numarası olan n değerini (örneğin 10) giriş kutusuna yazıp gönderin. Araç, üçgensel sayıyı anında hesaplar; bu değer aynı zamanda 1'den n'e kadar olan tüm tam sayıları topladığınızda elde edeceğiniz sonuçtur. 0 girerseniz sonuç 0 olur, çünkü toplanacak bir şey yoktur.
Formülün Açıklaması
Kapalı formdaki formül $$T(n) = \frac{n(n+1)}{2}$$ şeklindedir. Sayıları tek tek toplamak yerine \(n\)'yi bir sonraki tam sayı olan \((n+1)\) ile çarpıp sonucu ikiye bölersiniz. Bu yöntem işe yarar çünkü ilk ve son terimi, ikinci ve sondan ikinci terimi vb. eşleştirdiğinizde her seferinde aynı \((n+1)\) toplamını elde edersiniz ve bu tür \(n/2\) adet çift vardır. Carl Friedrich Gauss'un bunu daha okul çağındayken 1'den 100'e kadar olan sayıları toplayarak 5050'yi bulmasıyla keşfettiği rivayeti oldukça ünlüdür — ve siz de bunu doğrulayabilirsiniz: \(100 \times 101 / 2 = 5050\).
Çözümlü Örnek
Diyelim ki \(n = 10\). O hâlde $$T(10) = \frac{10 \times (10 + 1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = \frac{110}{2} = 55$$ olur. Yani \(1 + 2 + 3 + \dots + 10\) toplamı 55'e eşittir ve 55 nokta, alt sırasında 10 nokta bulunan düzgün bir üçgen şeklinde dizilebilir.
Sıkça Sorulan Sorular
100. üçgensel sayı kaçtır? \(T(100) = 100 \times 101 / 2 = 5050\).
n ondalıklı bir sayı olabilir mi? Üçgensel sayılar negatif olmayan tam sayılar için tanımlıdır; bu nedenle araç, girdiğiniz değerin tam sayı kısmını kullanır.
T(n) her zaman tam sayı mıdır? Evet. \(n\) ya da \(n+1\)'den biri mutlaka çifttir, dolayısıyla \(n(n+1)\) her zaman 2'ye tam bölünür.
