Что такое треугольное число?
Треугольное число показывает, сколько предметов можно выложить в виде равностороннего треугольника. n-е треугольное число, обозначаемое \(T(n)\), равно сумме всех натуральных чисел от 1 до n. Последовательность начинается так: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 — каждый следующий член прибавляет очередное целое число. Этот калькулятор вычисляет \(T(n)\) для любого неотрицательного целого числа, которое вы введёте.
Как пользоваться калькулятором
Введите номер члена n (например, 10) в поле ввода и нажмите кнопку расчёта. Калькулятор сразу выдаст треугольное число — оно же равно сумме всех целых чисел от 1 до n. Если ввести 0, результатом будет 0, ведь складывать нечего.
Разбор формулы
Формула в замкнутом виде: $$T(n) = \frac{n(n+1)}{2}$$ Вместо того чтобы складывать числа по одному, вы умножаете n на следующее целое число (n+1) и делите результат пополам. Это работает потому, что если объединить в пары первый и последний члены, второй и предпоследний и так далее, каждая пара даёт одинаковую сумму (n+1), а всего таких пар — n/2. Известна легенда о том, как Карл Фридрих Гаусс ещё школьником сложил числа от 1 до 100 и получил 5050. Это легко проверить: \(100 \times 101 / 2 = 5050\).
Разбор примера
Пусть n = 10. Тогда $$T(10) = \frac{10 \times (10 + 1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = \frac{110}{2} = 55$$ Значит, сумма \(1 + 2 + 3 + \ldots + 10\) равна 55, и 55 точек можно сложить в аккуратный треугольник, у которого в нижнем ряду 10 точек.
Частые вопросы
Чему равно 100-е треугольное число? \(T(100) = 100 \times 101 / 2 = 5050\).
Может ли n быть дробным? Треугольные числа определены только для неотрицательных целых чисел, поэтому калькулятор берёт целую часть введённого значения.
Всегда ли \(T(n)\) — целое число? Да. Либо n, либо n+1 обязательно чётное, поэтому произведение \(n(n+1)\) всегда делится на 2.
