Что такое средняя скорость изменения?
Средняя скорость изменения показывает, насколько в среднем меняется значение функции при увеличении аргумента на единицу на заданном отрезке [a, b]. С геометрической точки зрения это угловой коэффициент секущей — прямой, соединяющей две точки графика (a, f(a)) и (b, f(b)). Это одно из ключевых понятий алгебры и математического анализа: оно связывает идею наклона прямой с производной функции.
Как пользоваться калькулятором
Введите четыре значения: значение функции в первой точке f(a), сам первый аргумент a, значение функции во второй точке f(b) и второй аргумент b. Калькулятор вычтет значения функции, вычтет аргументы и поделит одно на другое — так получится средняя скорость изменения. Две вспомогательные строки покажут числитель (изменение f) и знаменатель (изменение x), чтобы вы могли проследить весь ход вычислений.
Разбор формулы
Формула выглядит так:
$$A = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$Числитель \(f(b) - f(a)\) — это общее изменение значения функции (его часто обозначают как \(\Delta y\)). Знаменатель \(b - a\) — это общее изменение аргумента (\(\Delta x\)). Их отношение \(\Delta y / \Delta x\) и есть угловой коэффициент между двумя точками. Если \(b - a\) равно нулю, скорость изменения не определена, ведь делить на ноль нельзя.
Пример с решением
Пусть \(f(x) = x^2\), тогда \(f(1) = 1\) и \(f(3) = 9\). Здесь \(a = 1\), \(b = 3\), \(f(a) = 1\), \(f(b) = 9\). Подставляем:
$$\frac{9 - 1}{3 - 1} = \frac{8}{2} = 4$$Значит, на отрезке [1, 3] функция в среднем растёт на 4 единицы f на каждую единицу x.
Частые вопросы
Средняя скорость изменения — это то же самое, что наклон? Да. Для прямой линии средняя скорость изменения в точности равна её постоянному угловому коэффициенту. Для кривых это угловой коэффициент секущей на выбранном отрезке.
Как это связано с производной? Когда отрезок [a, b] стягивается к одной точке, средняя скорость изменения приближается к мгновенной скорости изменения — то есть к производной функции.
Может ли результат быть отрицательным? Да. Отрицательное значение означает, что на отрезке функция убывает, а положительное — что она возрастает.
Ещё рабочие примеры
В каждом примере используется формула средней скорости изменения \(A = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\). Числитель — это изменение выходного значения (\(\Delta y\)); знаменатель — это изменение входного значения (\(\Delta x\)).
Пример 1 — Линейная функция (постоянная ARC)
Пусть \(f(x) = 3x + 2\) на интервале \([1, 5]\).
- \(f(a) = f(1) = 3(1) + 2 = 5\)
- \(f(b) = f(5) = 3(5) + 2 = 17\)
Подставляем в формулу:
$$A = \frac{17 - 5}{5 - 1} = \frac{12}{4} = 3$$Результат — 3. Для любой линейной функции ARC равна наклону прямой, поэтому она одинакова на каждом интервале — постоянная скорость изменения.
Пример 2 — Убывающая функция (отрицательная ARC)
Пусть \(f(x) = -x^2 + 4\) на интервале \([1, 3]\).
- \(f(a) = f(1) = -(1)^2 + 4 = 3\)
- \(f(b) = f(3) = -(3)^2 + 4 = -5\)
Подставляем:
$$A = \frac{-5 - 3}{3 - 1} = \frac{-8}{2} = -4$$Результат — -4. Отрицательное значение означает, что выходное значение в среднем падает на протяжении интервала — функция убывает на этом участке.
Пример 3 — Квадратный корень с нецелым выходным значением, \(f(x)=\sqrt{x}\) на \([1,4]\)
- \(f(a) = \sqrt{1} = 1\)
- \(f(b) = \sqrt{4} = 2\)
Подставляем:
$$A = \frac{2 - 1}{4 - 1} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$$Результат — \(\tfrac{1}{3} \approx\) 0.3333. Небольшое положительное значение показывает, что функция квадратного корня медленно возрастает на этом интервале.
Интерпретация вашего результата
Средняя скорость изменения показывает, насколько быстро и в каком направлении выходное значение функции изменяется в расчёте на единицу входного значения на протяжении интервала \([a,b]\).
- Положительная ARC: выходное значение в среднем увеличивается — функция возрастает от \(a\) к \(b\). Чем больше значение, тем круче средний подъём.
- Отрицательная ARC: выходное значение в среднем уменьшается — функция убывает на протяжении интервала.
- Нулевая ARC: чистое изменение равно нулю; \(f(a) = f(b)\). Функция возвращается к той же выходному значению, хотя она могла возрастать и убывать в промежутке.
Абсолютное значение = крутизна. Абсолютное значение \(|A|\) измеряет, насколько круто функция в среднем изменяется; ARC, равная 6, описывает вдвое большую среднюю крутизну, чем ARC, равная 3, и ARC, равная -4, круче, чем ARC, равная 2.
Единицы измерения. ARC имеет единицы измерения выходного значения, делённые на единицы измерения входного значения — «единицы выхода на единицу входа». Например, доллары в год, метры в секунду или градусы в минуту. Всегда указывайте единицы в прикладных задачах, чтобы число было осмысленным.
Связь с наклоном и прикладными скоростями
Геометрически средняя скорость изменения равна наклону секущей линии, соединяющей две точки \((a, f(a))\) и \((b, f(b))\) на графике — точно по правилу подъём/проход между этими точками.
В прикладном контексте одна и та же формула имеет известные названия. Когда \(f\) — это положение как функция времени, ARC — это средняя скорость \(\Delta x / \Delta t\); когда \(f\) — это скорость по времени, это среднее ускорение \(\Delta v / \Delta t\). По мере того как интервал сжимается к одной точке, средняя скорость изменения приближается к мгновенной скорости изменения — производной.
Определения и глоссарий
- Средняя скорость изменения (ARC)
- Изменение выходного значения функции, делённое на изменение входного значения на интервале: \(A = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\). Она описывает чистое изменение функции на единицу на интервале \([a,b]\).
- Интервал \([a,b]\)
- Замкнутый диапазон входных значений от нижней конечной точки \(a\) к верхней конечной точке \(b\), на котором измеряется скорость изменения, при условии \(a \neq b\).
- \(f(a)\) и \(f(b)\)
- Выходные значения функции на конечных точках интервала — начальное выходное значение \(f(a)\) и конечное выходное значение \(f(b)\).
- \(\Delta y\) (изменение выходного значения)
- Разница выходных значений, \(\Delta y = f(b) - f(a)\); числитель ARC, также называется «подъём».
- \(\Delta x\) (изменение входного значения)
- Разница входных значений, \(\Delta x = b - a\); знаменатель ARC, также называется «проход».
- Секущая линия
- Прямая линия, проходящая через две точки кривой, в данном случае \((a, f(a))\) и \((b, f(b))\). ARC равна наклону этой секущей линии.
- Наклон
- Крутизна прямой, измеряемая как подъём на проход, \(\Delta y / \Delta x\). Средняя скорость изменения — это наклон секущей линии между двумя выбранными точками.
- Мгновенная скорость изменения (производная)
- Скорость изменения в одной точке, \(f'(x)\), полученная в виде предела средней скорости изменения, когда длина интервала приближается к нулю. Она равна наклону касательной в этой точке.
