Tốc Độ Thay Đổi Trung Bình Là Gì?

Tốc độ thay đổi trung bình (ARC) cho biết giá trị đầu ra của một hàm số thay đổi bao nhiêu, tính trung bình, ứng với mỗi đơn vị tăng lên của đầu vào trên khoảng [a, b]. Về mặt hình học, đây chính là hệ số góc của đường cát tuyến nối hai điểm (a, f(a)) và (b, f(b)) trên đồ thị hàm số. Đây là một trong những khái niệm nền tảng nhất của đại số và giải tích, là cầu nối giữa ý tưởng về hệ số góc và đạo hàm.

Đường cong với hai điểm được đánh dấu nối bằng một đường cát tuyến thẳng — Tốc độ thay đổi trung bình bằng độ dốc của đường cát tuyến đi qua hai điểm trên đường cong.

Cách Sử Dụng Máy Tính Này

Bạn hãy nhập bốn giá trị: giá trị hàm số tại điểm thứ nhất f(a), đầu vào thứ nhất a, giá trị hàm số tại điểm thứ hai f(b) và đầu vào thứ hai b. Máy tính sẽ lấy hiệu của các giá trị đầu ra, hiệu của các giá trị đầu vào, rồi chia hai kết quả này để cho ra tốc độ thay đổi trung bình. Hai dòng phụ trợ hiển thị tử số (độ thay đổi của f) và mẫu số (độ thay đổi của x) để bạn dễ dàng theo dõi từng bước tính toán.

Giải Thích Công Thức

Công thức là $$A = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ Tử số, $f(b) - f(a)$, là tổng độ thay đổi của giá trị hàm số (thường ký hiệu là $\Delta y$). Mẫu số, $b - a$, là tổng độ thay đổi của đầu vào ($\Delta x$). Tỉ số $\Delta y / \Delta x$ chính là hệ số góc giữa hai điểm. Nếu $b - a$ bằng 0 thì tốc độ thay đổi không xác định, vì ta không thể chia cho 0.

Tam giác vuông thể hiện độ tăng trên độ chạy giữa hai điểm trên đường cát tuyến — Tốc độ thay đổi trung bình là độ tăng chia độ chạy: thay đổi của f chia cho thay đổi của x.

Ví Dụ Minh Họa

Giả sử $f(x) = x^2$ nên $f(1) = 1$ và $f(3) = 9$. Ở đây $a = 1$, $b = 3$, $f(a) = 1$, $f(b) = 9$. Khi đó $$A = \frac{9 - 1}{3 - 1} = \frac{8}{2} = 4$$ Vậy trên khoảng [1, 3], cứ mỗi đơn vị tăng của x thì giá trị hàm số f tăng thêm 4 đơn vị.

Thêm các ví dụ đã giải

Mỗi ví dụ sử dụng công thức tốc độ thay đổi trung bình $A = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Tử số là sự thay đổi của đầu ra ($\Delta y$); mẫu số là sự thay đổi của đầu vào ($\Delta x$).

Ví dụ 1 — Hàm số tuyến tính (ARC không đổi)

Cho $f(x) = 3x + 2$ trên khoảng $[1, 5]$.

$f(a) = f(1) = 3(1) + 2 = 5$
$f(b) = f(5) = 3(5) + 2 = 17$

Thay vào công thức:

$$A = \frac{17 - 5}{5 - 1} = \frac{12}{4} = 3$$

Kết quả là 3. Đối với bất kỳ hàm số tuyến tính nào, ARC bằng độ dốc của đường thẳng, do đó nó bằng nhau trên mọi khoảng — một tốc độ thay đổi không đổi.

Ví dụ 2 — Hàm số giảm (ARC âm)

Cho $f(x) = -x^2 + 4$ trên khoảng $[1, 3]$.

$f(a) = f(1) = -(1)^2 + 4 = 3$
$f(b) = f(3) = -(3)^2 + 4 = -5$

Thay vào:

$$A = \frac{-5 - 3}{3 - 1} = \frac{-8}{2} = -4$$

Kết quả là -4. Một giá trị âm có nghĩa là đầu ra đang giảm trung bình trên toàn khoảng — hàm số đang giảm ở đó.

Ví dụ 3 — Căn bậc hai với đầu ra không phải số nguyên, $f(x)=\sqrt{x}$ trên $[1,4]$

$f(a) = \sqrt{1} = 1$
$f(b) = \sqrt{4} = 2$

Thay vào:

$$A = \frac{2 - 1}{4 - 1} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$$

Kết quả là $\tfrac{1}{3} \approx$ 0.3333. Giá trị dương nhỏ cho thấy hàm số căn bậc hai tăng chậm trên khoảng này.

Diễn giải kết quả của bạn

Tốc độ thay đổi trung bình cho bạn biết hàm số thay đổi nhanh như thế nào, và theo hướng nào, cho mỗi đơn vị đầu vào trên khoảng $[a,b]$.

ARC dương: đầu ra tăng trung bình — hàm số tăng từ $a$ đến $b$. Giá trị càng lớn, độ dốc trung bình càng dốc.
ARC âm: đầu ra giảm trung bình — hàm số giảm trên khoảng.
ARC bằng không: thay đổi ròng bằng không; $f(a) = f(b)$. Hàm số trở về cùng giá trị đầu ra mặc dù nó có thể đã tăng và giảm ở giữa.

Độ lớn = độ dốc. Giá trị tuyệt đối $|A|$ đo mức độ dốc mà hàm số thay đổi trung bình; một ARC của $6$ mô tả độ dốc trung bình gấp đôi so với ARC của $3$, và một ARC của $-4$ dốc hơn một ARC của $2$.

Đơn vị. ARC mang các đơn vị của đầu ra chia cho các đơn vị của đầu vào — "đơn vị đầu ra trên đơn vị đầu vào." Ví dụ: đô la trên năm, mét trên giây, hoặc độ trên phút. Luôn nêu đơn vị trong các bài toán ứng dụng để con số có ý nghĩa.

Mối quan hệ với độ dốc và tốc độ ứng dụng

Về mặt hình học, tốc độ thay đổi trung bình bằng độ dốc của đường cát tuyến nối hai điểm $(a, f(a))$ và $(b, f(b))$ trên đồ thị — chính xác là sự tăng-trên-chạy giữa những điểm đó.

Trong các bối cảnh ứng dụng, công thức tương tự có những tên gọi quen thuộc. Khi $f$ là vị trí như một hàm số của thời gian, ARC là vận tốc trung bình $\Delta x / \Delta t$; khi $f$ là vận tốc theo thời gian, đó là gia tốc trung bình $\Delta v / \Delta t$. Khi khoảng thời gian co lại về một điểm duy nhất, tốc độ thay đổi trung bình tiến gần đến tốc độ thay đổi tức thời — đạo hàm.

Định nghĩa & Thuật ngữ

Tốc độ thay đổi trung bình (ARC): Sự thay đổi của đầu ra hàm số chia cho sự thay đổi của đầu vào trên một khoảng: $A = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Nó mô tả sự thay đổi ròng trên mỗi đơn vị của hàm số trên $[a,b]$.
Khoảng $[a,b]$: Phạm vi đóng các giá trị đầu vào từ điểm cuối dưới $a$ đến điểm cuối trên $b$ mà trên đó tốc độ thay đổi được đo, với $a \neq b$.
$f(a)$ và $f(b)$: Các giá trị đầu ra của hàm số tại các điểm cuối của khoảng — giá trị đầu ra ban đầu $f(a)$ và giá trị đầu ra cuối cùng $f(b)$.
$\Delta y$ (sự thay đổi của đầu ra): Sự khác biệt trong các giá trị đầu ra, $\Delta y = f(b) - f(a)$; tử số của ARC, còn gọi là "sự tăng."
$\Delta x$ (sự thay đổi của đầu vào): Sự khác biệt trong các giá trị đầu vào, $\Delta x = b - a$; mẫu số của ARC, còn gọi là "sự chạy."
Đường cát tuyến: Một đường thẳng đi qua hai điểm trên một đường cong, ở đây là $(a, f(a))$ và $(b, f(b))$. ARC bằng độ dốc của đường cát tuyến này.
Độ dốc: Độ dốc của một đường thẳng, được đo bằng sự tăng trên sự chạy, $\Delta y / \Delta x$. Tốc độ thay đổi trung bình là độ dốc của đường cát tuyến giữa hai điểm đã chọn.
Tốc độ thay đổi tức thời (đạo hàm): Tốc độ thay đổi tại một điểm duy nhất, $f'(x)$, thu được khi giới hạn của tốc độ thay đổi trung bình khi độ dài khoảng tiến gần đến không. Nó bằng độ dốc của đường tiếp tuyến tại điểm đó.

Câu Hỏi Thường Gặp

Tốc độ thay đổi trung bình có giống với hệ số góc không? Đúng vậy — với một đường thẳng thì tốc độ thay đổi trung bình chính là hệ số góc không đổi của đường thẳng đó. Với đường cong, nó là hệ số góc của đường cát tuyến trên khoảng đã chọn.

Nó liên hệ với đạo hàm như thế nào? Khi khoảng [a, b] thu hẹp dần về một điểm duy nhất, tốc độ thay đổi trung bình tiến tới tốc độ thay đổi tức thời, đó chính là đạo hàm.

Kết quả có thể âm không? Có. ARC âm nghĩa là hàm số giảm trên khoảng đó; còn giá trị dương nghĩa là hàm số tăng.

Máy Tính Tốc Độ Thay Đổi Trung Bình

Nhập phép tính

Công thức

Kết quả