Qu'est-ce que le taux de variation moyen ?

Le taux de variation moyen (TVM) mesure de combien la valeur de sortie d'une fonction évolue, en moyenne, pour chaque unité ajoutée à sa valeur d'entrée sur un intervalle [a, b]. Géométriquement, il correspond à la pente de la sécante qui relie les deux points (a, f(a)) et (b, f(b)) sur la courbe de la fonction. C'est l'une des notions fondamentales de l'algèbre et de l'analyse : elle fait le lien entre la pente d'une droite et la dérivée.

Courbe avec deux points marqués reliés par une droite sécante — Le taux de variation moyen est égal à la pente de la sécante passant par les deux points de la courbe.

Comment utiliser ce calculateur

Saisissez quatre valeurs : la valeur de la fonction au premier point f(a), la première entrée a, la valeur de la fonction au second point f(b) et la seconde entrée b. Le calculateur soustrait les sorties, soustrait les entrées, puis effectue la division pour obtenir le taux de variation moyen. Les deux lignes d'aide affichent le numérateur (la variation de f) et le dénominateur (la variation de x) afin que vous puissiez suivre chaque étape du calcul.

La formule expliquée

La formule s'écrit $$\text{TVM} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ Le numérateur, $f(b) - f(a)$, représente la variation totale de la valeur de la fonction (souvent notée $\Delta y$). Le dénominateur, $b - a$, représente la variation totale de l'entrée ($\Delta x$). Leur rapport $\Delta y / \Delta x$ correspond à la pente entre les deux points. Si $b - a$ est égal à zéro, le taux n'est pas défini, car on ne peut pas diviser par zéro.

Triangle rectangle montrant la variation verticale sur horizontale entre deux points d'une sécante — Le taux de variation moyen est la variation verticale sur la variation horizontale : la variation de f divisée par la variation de x.

Exemple résolu

Prenons $f(x) = x^2$, ce qui donne $f(1) = 1$ et $f(3) = 9$. Ici, $a = 1$, $b = 3$, $f(a) = 1$ et $f(b) = 9$. $$\text{TVM} = \frac{9 - 1}{3 - 1} = \frac{8}{2} = 4$$ Ainsi, sur l'intervalle [1, 3], la fonction augmente de 4 unités de f pour chaque unité de x.

Davantage d'exemples résolus

Chaque exemple utilise la formule du taux de variation moyen $A = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Le numérateur est la variation de la sortie ($\Delta y$); le dénominateur est la variation de l'entrée ($\Delta x$).

Exemple 1 — Fonction linéaire (TVM constant)

Soit $f(x) = 3x + 2$ sur l'intervalle $[1, 5]$.

$f(a) = f(1) = 3(1) + 2 = 5$
$f(b) = f(5) = 3(5) + 2 = 17$

Substituez dans la formule :

$$A = \frac{17 - 5}{5 - 1} = \frac{12}{4} = 3$$

Le résultat est 3. Pour toute fonction linéaire, le TVM égale la pente de la ligne, donc il est le même sur chaque intervalle — un taux de variation constant.

Exemple 2 — Fonction décroissante (TVM négatif)

Soit $f(x) = -x^2 + 4$ sur l'intervalle $[1, 3]$.

$f(a) = f(1) = -(1)^2 + 4 = 3$
$f(b) = f(3) = -(3)^2 + 4 = -5$

Substituez :

$$A = \frac{-5 - 3}{3 - 1} = \frac{-8}{2} = -4$$

Le résultat est -4. Une valeur négative signifie que la sortie diminue en moyenne sur l'intervalle — la fonction est décroissante à cet endroit.

Exemple 3 — Racine carrée avec sortie non entière, $f(x)=\sqrt{x}$ sur $[1,4]$

$f(a) = \sqrt{1} = 1$
$f(b) = \sqrt{4} = 2$

Substituez :

$$A = \frac{2 - 1}{4 - 1} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$$

Le résultat est $\tfrac{1}{3} \approx$ 0.3333. La petite valeur positive montre que la fonction racine carrée augmente lentement sur cet intervalle.

Interprétation de votre résultat

Le taux de variation moyen vous indique à quelle vitesse, et dans quelle direction, la sortie d'une fonction change par unité d'entrée sur un intervalle $[a,b]$.

TVM positif : la sortie augmente en moyenne — la fonction augmente de $a$ à $b$. Plus la valeur est grande, plus la montée moyenne est raide.
TVM négatif : la sortie diminue en moyenne — la fonction baisse sur l'intervalle.
TVM zéro : le changement net est zéro ; $f(a) = f(b)$. La fonction revient à la même valeur de sortie même si elle peut avoir augmenté et diminué entre les deux.

Magnitude = pente. La valeur absolue $|A|$ mesure à quel point la fonction change en moyenne ; un TVM de $6$ décrit deux fois la pente moyenne d'un TVM de $3$, et un TVM de $-4$ est plus raide qu'un de $2$.

Unités. Le TVM porte les unités de la sortie divisées par les unités de l'entrée — « unités de sortie par unité d'entrée ». Par exemple, dollars par année, mètres par seconde, ou degrés par minute. Énoncez toujours les unités dans les problèmes appliqués pour que le nombre soit significatif.

Relation avec la pente et les taux appliqués

Géométriquement, le taux de variation moyen égale la pente de la droite sécante joignant les deux points $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$ sur le graphique — exactement la variation verticale divisée par la variation horizontale entre ces points.

Dans les contextes appliqués, la même formule a des noms familiers. Lorsque $f$ est la position en fonction du temps, le TVM est la vitesse moyenne $\Delta x / \Delta t$; lorsque $f$ est la vitesse sur le temps, c'est l'accélération moyenne $\Delta v / \Delta t$. À mesure que l'intervalle se rétrécit vers un seul point, le taux de variation moyen s'approche du taux de variation instantané — la dérivée.

Définitions et glossaire

Taux de variation moyen (TVM): La variation de la sortie d'une fonction divisée par la variation de son entrée sur un intervalle : $A = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Il décrit le changement net par unité de la fonction sur $[a,b]$.
Intervalle $[a,b]$: La plage fermée des valeurs d'entrée du point extrême inférieur $a$ au point extrême supérieur $b$ sur lequel le taux de variation est mesuré, avec $a \neq b$.
$f(a)$ et $f(b)$: Les valeurs de sortie de la fonction aux points extrêmes de l'intervalle — la sortie initiale $f(a)$ et la sortie finale $f(b)$.
$\Delta y$ (variation de la sortie): La différence entre les valeurs de sortie, $\Delta y = f(b) - f(a)$; le numérateur du TVM, aussi appelé la « variation verticale ».
$\Delta x$ (variation de l'entrée): La différence entre les valeurs d'entrée, $\Delta x = b - a$; le dénominateur du TVM, aussi appelé la « variation horizontale ».
Droite sécante: Une ligne droite qui passe par deux points sur une courbe, ici $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$. Le TVM égale la pente de cette droite sécante.
Pente: La raideur d'une ligne, mesurée comme variation verticale divisée par variation horizontale, $\Delta y / \Delta x$. Le taux de variation moyen est la pente de la droite sécante entre les deux points choisis.
Taux de variation instantané (dérivée): Le taux de variation à un seul point, $f'(x)$, obtenu comme la limite du taux de variation moyen lorsque la longueur de l'intervalle s'approche de zéro. Il égale la pente de la droite tangente à ce point.

FAQ

Le taux de variation moyen est-il identique à la pente ? Oui — pour une droite, le taux de variation moyen est exactement égal à la pente constante. Pour une courbe, il s'agit de la pente de la sécante sur l'intervalle choisi.

Quel est son lien avec la dérivée ? Lorsque l'intervalle [a, b] se réduit jusqu'à se rapprocher d'un seul point, le taux de variation moyen tend vers le taux de variation instantané, c'est-à-dire la dérivée.

Le résultat peut-il être négatif ? Oui. Un TVM négatif signifie que la fonction décroît sur l'intervalle ; une valeur positive indique qu'elle croît.

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