¿Qué es la tasa de variación media?

La tasa de variación media (TVM) indica cuánto cambia, en promedio, el valor de salida de una función por cada unidad que aumenta su entrada a lo largo de un intervalo [a, b]. Desde el punto de vista geométrico, es la pendiente de la recta secante que une los dos puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) sobre la gráfica de la función. Se trata de uno de los conceptos esenciales del álgebra y el cálculo, ya que tiende un puente entre la idea de pendiente y la de derivada.

Curva con dos puntos marcados unidos por una recta secante — La tasa de cambio promedio es igual a la pendiente de la recta secante que pasa por los dos puntos de la curva.

Cómo usar esta calculadora

Introduce cuatro valores: el valor de la función en el primer punto f(a), la primera entrada a, el valor de la función en el segundo punto f(b) y la segunda entrada b. La calculadora resta las salidas, resta las entradas y divide para obtener la tasa de variación media. Las dos filas auxiliares muestran el numerador (variación de f) y el denominador (variación de x) para que puedas seguir cada paso del cálculo.

La fórmula al detalle

La fórmula es $$A = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ El numerador, $f(b) - f(a)$, es la variación total del valor de la función (que suele escribirse como $\Delta y$). El denominador, $b - a$, es la variación total de la entrada ($\Delta x$). Su cociente $\Delta y / \Delta x$ es la pendiente entre los dos puntos. Si $b - a$ vale cero, la tasa queda indefinida, ya que no se puede dividir entre cero.

Triángulo rectángulo que muestra el cambio vertical sobre el horizontal entre dos puntos de una secante — La TCP es el cambio vertical sobre el horizontal: el cambio en f dividido entre el cambio en x.

Ejemplo resuelto

Supongamos que $f(x) = x^2$, de modo que $f(1) = 1$ y $f(3) = 9$. Aquí $a = 1$, $b = 3$, $f(a) = 1$ y $f(b) = 9$. Entonces $$\text{TVM} = \frac{9 - 1}{3 - 1} = \frac{8}{2} = 4$$ Es decir, en el intervalo [1, 3] la función aumenta 4 unidades de f por cada unidad de x.

Más ejemplos resueltos

Cada ejemplo utiliza la fórmula de la tasa de cambio promedio $A = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$. El numerador es el cambio en la salida ($\Delta y$); el denominador es el cambio en la entrada ($\Delta x$).

Ejemplo 1 — Función lineal (TCP constante)

Sea $f(x) = 3x + 2$ en el intervalo $[1, 5]$.

$f(a) = f(1) = 3(1) + 2 = 5$
$f(b) = f(5) = 3(5) + 2 = 17$

Sustituir en la fórmula:

$$A = \frac{17 - 5}{5 - 1} = \frac{12}{4} = 3$$

El resultado es 3. Para cualquier función lineal la TCP es igual a la pendiente de la recta, por lo que es la misma en cada intervalo — una tasa de cambio constante.

Ejemplo 2 — Función decreciente (TCP negativa)

Sea $f(x) = -x^2 + 4$ en el intervalo $[1, 3]$.

$f(a) = f(1) = -(1)^2 + 4 = 3$
$f(b) = f(3) = -(3)^2 + 4 = -5$

Sustituir:

$$A = \frac{-5 - 3}{3 - 1} = \frac{-8}{2} = -4$$

El resultado es -4. Un valor negativo significa que la salida está disminuyendo en promedio en todo el intervalo — la función está decreciendo ahí.

Ejemplo 3 — Raíz cuadrada con salida no entera, $f(x)=\sqrt{x}$ en $[1,4]$

$f(a) = \sqrt{1} = 1$
$f(b) = \sqrt{4} = 2$

Sustituir:

$$A = \frac{2 - 1}{4 - 1} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$$

El resultado es $\tfrac{1}{3} \approx$ 0.3333. El valor positivo pequeño muestra que la función raíz cuadrada crece lentamente en este intervalo.

Interpretación de su resultado

La tasa de cambio promedio le indica qué tan rápido, y en qué dirección, cambia la salida de una función por unidad de entrada en un intervalo $[a,b]$.

TCP positiva: la salida aumenta en promedio — la función crece de $a$ a $b$. Cuanto mayor sea el valor, más empinada es la subida promedio.
TCP negativa: la salida disminuye en promedio — la función cae en el intervalo.
TCP cero: el cambio neto es cero; $f(a) = f(b)$. La función vuelve al mismo valor de salida aunque haya subido y bajado entre ellos.

Magnitud = inclinación. El valor absoluto $|A|$ mide qué tan abruptamente cambia la función en promedio; una TCP de $6$ describe el doble de la inclinación promedio de una TCP de $3$, y una TCP de $-4$ es más empinada que una de $2$.

Unidades. La TCP lleva las unidades de la salida divididas por las unidades de la entrada — "unidades de salida por unidad de entrada." Por ejemplo, dólares por año, metros por segundo, o grados por minuto. Siempre indique las unidades en problemas aplicados para que el número sea significativo.

Relación con la pendiente y tasas aplicadas

Geométricamente, la tasa de cambio promedio es igual a la pendiente de la recta secante que une los dos puntos $(a, f(a))$ y $(b, f(b))$ en la gráfica — exactamente el cambio vertical sobre el cambio horizontal entre esos puntos.

En contextos aplicados la misma fórmula tiene nombres familiares. Cuando $f$ es la posición como función del tiempo, la TCP es la velocidad promedio $\Delta x / \Delta t$; cuando $f$ es la velocidad en el tiempo, es la aceleración promedio $\Delta v / \Delta t$. A medida que el intervalo se reduce hacia un solo punto, la tasa de cambio promedio se aproxima a la tasa de cambio instantánea — la derivada.

Definiciones y glosario

Tasa de cambio promedio (TCP): El cambio en la salida de una función dividido por el cambio en su entrada en un intervalo: $A = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Describe el cambio neto por unidad de la función en $[a,b]$.
Intervalo $[a,b]$: El rango cerrado de valores de entrada desde el extremo inferior $a$ hasta el extremo superior $b$ sobre el cual se mide la tasa de cambio, con $a \neq b$.
$f(a)$ y $f(b)$: Los valores de salida de la función en los extremos del intervalo — la salida inicial $f(a)$ y la salida final $f(b)$.
$\Delta y$ (cambio en la salida): La diferencia en los valores de salida, $\Delta y = f(b) - f(a)$; el numerador de la TCP, también llamado el "cambio vertical".
$\Delta x$ (cambio en la entrada): La diferencia en los valores de entrada, $\Delta x = b - a$; el denominador de la TCP, también llamado el "cambio horizontal".
Recta secante: Una recta que pasa por dos puntos en una curva, aquí $(a, f(a))$ y $(b, f(b))$. La TCP es igual a la pendiente de esta recta secante.
Pendiente: La inclinación de una recta, medida como cambio vertical sobre cambio horizontal, $\Delta y / \Delta x$. La tasa de cambio promedio es la pendiente de la recta secante entre los dos puntos elegidos.
Tasa de cambio instantánea (derivada): La tasa de cambio en un solo punto, $f'(x)$, obtenida como el límite de la tasa de cambio promedio cuando la longitud del intervalo se aproxima a cero. Es igual a la pendiente de la recta tangente en ese punto.

Preguntas frecuentes

¿La tasa de variación media es lo mismo que la pendiente? Sí: en el caso de una recta, la tasa de variación media coincide exactamente con su pendiente constante. En las curvas es la pendiente de la recta secante sobre el intervalo elegido.

¿Qué relación tiene con la derivada? A medida que el intervalo [a, b] se reduce hasta acercarse a un único punto, la tasa de variación media tiende a la tasa de variación instantánea, que es precisamente la derivada.

¿El resultado puede ser negativo? Sí. Una TVM negativa significa que la función decrece a lo largo del intervalo; un valor positivo indica que crece.

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