什麼是平均變化率？
平均變化率（Average Rate of Change，簡稱 ARC）用來衡量在區間 [a, b] 上，輸入值每增加一個單位時，函數輸出值平均改變了多少。從幾何角度來看，它就是連接函數圖形上兩點 (a, f(a)) 與 (b, f(b)) 的割線斜率。平均變化率是代數與微積分中最基礎的概念之一，恰好把「斜率」與「導數」這兩個觀念串連起來。
計算機使用方式
只需輸入四個數值：第一點的函數值 \(f(a)\)、第一個輸入值 \(a\)、第二點的函數值 \(f(b)\)，以及第二個輸入值 \(b\)。計算機會把兩個輸出值相減、兩個輸入值相減，再相除，即可得到平均變化率。下方兩列輔助資訊會分別顯示分子（f 的變化量）與分母（x 的變化量），讓你能一步步看懂整個計算過程。
公式詳解
公式為 $$ARC = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ 分子 \(f(b) - f(a)\) 代表函數值的總變化量（常寫作 \(\Delta y\)）；分母 \(b - a\) 代表輸入值的總變化量（\(\Delta x\)）。兩者的比值 \(\Delta y / \Delta x\) 就是兩點之間的斜率。若 \(b - a\) 等於 0，平均變化率將無法定義，因為除數不能為零。
範例演算
假設 \(f(x) = x^2\)，則 \(f(1) = 1\)、\(f(3) = 9\)。此時 \(a = 1\)、\(b = 3\)、\(f(a) = 1\)、\(f(b) = 9\)。代入公式：$$ARC = \frac{9 - 1}{3 - 1} = \frac{8}{2} = 4$$ 也就是說，在區間 [1, 3] 上，x 每增加 1 個單位，函數值 f 平均上升 4 個單位。
更多已解決的範例
每個範例都使用平均變化率公式 \(A = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\)。分子是輸出的變化（\(\Delta y\)）；分母是輸入的變化（\(\Delta x\)）。
範例 1 — 線性函數（常數平均變化率）
設 \(f(x) = 3x + 2\) 在區間 \([1, 5]\) 上。
- \(f(a) = f(1) = 3(1) + 2 = 5\)
- \(f(b) = f(5) = 3(5) + 2 = 17\)
代入公式：
$$A = \frac{17 - 5}{5 - 1} = \frac{12}{4} = 3$$結果是 3。對於任何線性函數，平均變化率等於直線的斜率，因此在每個區間上都相同 — 一個恆定的變化率。
範例 2 — 遞減函數（負平均變化率）
設 \(f(x) = -x^2 + 4\) 在區間 \([1, 3]\) 上。
- \(f(a) = f(1) = -(1)^2 + 4 = 3\)
- \(f(b) = f(3) = -(3)^2 + 4 = -5\)
代入：
$$A = \frac{-5 - 3}{3 - 1} = \frac{-8}{2} = -4$$結果是 -4。負值表示輸出在該區間上平均下降 — 函數在那裡遞減。
範例 3 — 平方根具有非整數輸出，\(f(x)=\sqrt{x}\) 在 \([1,4]\) 上
- \(f(a) = \sqrt{1} = 1\)
- \(f(b) = \sqrt{4} = 2\)
代入：
$$A = \frac{2 - 1}{4 - 1} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$$結果是 \(\tfrac{1}{3} \approx\) 0.3333。這個小正值顯示平方根函數在此區間上上升緩慢。
解釋您的結果
平均變化率告訴您在區間 \([a,b]\) 上，函數的輸出按輸入單位變化的速度和方向有多快。
- 正平均變化率：輸出平均增加 — 函數從 \(a\) 上升到 \(b\)。值越大，平均上升越陡峭。
- 負平均變化率：輸出平均下降 — 函數在該區間上下降。
- 零平均變化率：淨變化為零；\(f(a) = f(b)\)。即使函數可能在中間上升和下降，它也會返回到相同的輸出值。
大小 = 陡峭度。絕對值 \(|A|\) 測量函數平均變化的陡峭程度；平均變化率為 \(6\) 的陡峭程度是平均變化率為 \(3\) 的兩倍，平均變化率為 \(-4\) 比 \(2\) 的陡峭。
單位。平均變化率攜帶輸出單位除以輸入單位的單位 — 「每個輸入單位的輸出單位。」例如，每年美元、每秒米或每分鐘度數。在應用問題中始終說明單位，以便數字有意義。
與斜率和應用速率的關係
從幾何上講，平均變化率等於連接圖形上兩點 \((a, f(a))\) 和 \((b, f(b))\) 的 割線的斜率 — 恰好是這兩點之間的上升/運行。
在應用環境中，同一公式有熟悉的名稱。當 \(f\) 是位置作為時間的函數時，平均變化率是 平均速度 \(\Delta x / \Delta t\)；當 \(f\) 是時間上的速度時，它是 平均加速度 \(\Delta v / \Delta t\)。當區間收縮到單點時，平均變化率接近 瞬時 變化率 — 導數。
定義及術語
- 平均變化率（ARC）
- 函數輸出的變化除以區間上的輸入變化：\(A = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\)。它描述函數在 \([a,b]\) 上的淨每單位變化。
- 區間 \([a,b]\)
- 輸入值的閉合範圍，從下端點 \(a\) 到上端點 \(b\)，在此區間上測量變化率，其中 \(a \neq b\)。
- \(f(a)\) 和 \(f(b)\)
- 函數在區間端點處的輸出值 — 起始輸出 \(f(a)\) 和結束輸出 \(f(b)\)。
- \(\Delta y\)（輸出變化）
- 輸出值的差異，\(\Delta y = f(b) - f(a)\)；平均變化率的分子，也稱為「上升」。
- \(\Delta x\)（輸入變化）
- 輸入值的差異，\(\Delta x = b - a\)；平均變化率的分母，也稱為「運行」。
- 割線
- 通過曲線上兩點的直線，此處為 \((a, f(a))\) 和 \((b, f(b))\)。平均變化率等於此割線的斜率。
- 斜率
- 直線的陡峭程度，以上升/運行測量，\(\Delta y / \Delta x\)。平均變化率是所選兩點之間割線的斜率。
- 瞬時變化率（導數）
- 單點處的變化率，\(f'(x)\)，當區間長度接近零時作為平均變化率的極限獲得。它等於該點處切線的斜率。
常見問題
平均變化率和斜率是同一回事嗎？是的——對於一條直線而言，平均變化率正好等於它固定的斜率。對於曲線來說，平均變化率則是所選區間上割線的斜率。
它和導數有什麼關係？當區間 [a, b] 不斷縮小、趨近於同一點時，平均變化率就會逼近瞬時變化率，也就是導數。
計算結果可能是負數嗎？可以。負的平均變化率代表函數在該區間內遞減；正值則代表函數遞增。
