평균 변화율 계산기

f(x)의 변화량: f(b) − f(a)	6
x의 변화량: b − a	2

평균 변화율이란?

평균 변화율(ARC, Average Rate of Change)은 구간 [a, b]에서 입력값이 1만큼 늘어날 때 함수의 출력값이 평균적으로 얼마나 변하는지를 나타냅니다. 기하학적으로는 함수 그래프 위의 두 점 (a, f(a))와 (b, f(b))를 잇는 할선(secant line)의 기울기와 같습니다. 평균 변화율은 대수학과 미적분학의 가장 기본이 되는 개념 중 하나로, '기울기'라는 개념과 '미분(도함수)'을 자연스럽게 이어 주는 다리 역할을 합니다.

두 표시된 점을 직선 할선으로 연결한 곡선 — 평균 변화율은 곡선 위의 두 점을 지나는 할선의 기울기와 같다.

계산기 사용 방법

네 가지 값을 입력하면 됩니다. 첫 번째 점에서의 함숫값 $f(a)$, 첫 번째 입력값 $a$, 두 번째 점에서의 함숫값 $f(b)$, 그리고 두 번째 입력값 $b$입니다. 계산기는 출력값끼리 빼고, 입력값끼리 뺀 뒤 이를 나누어 평균 변화율을 구합니다. 보조 표시 두 줄에는 분자(f의 변화량)와 분모(x의 변화량)가 따로 나타나므로 계산 과정을 한눈에 따라갈 수 있습니다.

공식 살펴보기

공식은 다음과 같습니다.

$$A = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

분자 $f(b) - f(a)$는 함숫값의 총 변화량으로, 흔히 $\Delta y$로 표기합니다. 분모 $b - a$는 입력값의 총 변화량($\Delta x$)입니다. 이 둘의 비 $\Delta y / \Delta x$가 바로 두 점 사이의 기울기입니다. 만약 $b - a$가 0이라면 0으로 나눌 수 없으므로 변화율은 정의되지 않습니다.

할선 위 두 점 사이의 세로 변화와 가로 변화를 보여주는 직각삼각형 — 평균 변화율은 세로 변화를 가로 변화로 나눈 값: f의 변화 ÷ x의 변화.

예제로 이해하기

$f(x) = x^2$인 경우를 생각해 봅시다. 그러면 $f(1) = 1$, $f(3) = 9$가 됩니다. 여기서 $a = 1$, $b = 3$, $f(a) = 1$, $f(b) = 9$입니다.

$$A = \frac{9 - 1}{3 - 1} = \frac{8}{2} = 4$$

즉, 구간 [1, 3]에서 x가 1씩 늘어날 때마다 함숫값 f는 평균 4만큼 증가합니다.

더 많은 풀이 예제

각 예제는 평균 변화율 공식 $A = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$을(를) 사용합니다. 분자는 출력의 변화($\Delta y$)이고, 분모는 입력의 변화($\Delta x$)입니다.

예제 1 — 일차 함수(상수 ARC)

$[1, 5]$ 구간에서 $f(x) = 3x + 2$라고 합시다.

$f(a) = f(1) = 3(1) + 2 = 5$
$f(b) = f(5) = 3(5) + 2 = 17$

공식에 대입하면:

$$A = \frac{17 - 5}{5 - 1} = \frac{12}{4} = 3$$

결과는 3입니다. 일차 함수에서 ARC는 직선의 기울기와 같으므로 모든 구간에서 동일합니다 — 상수 변화율입니다.

예제 2 — 감소 함수(음수 ARC)

$[1, 3]$ 구간에서 $f(x) = -x^2 + 4$라고 합시다.

$f(a) = f(1) = -(1)^2 + 4 = 3$
$f(b) = f(3) = -(3)^2 + 4 = -5$

대입하면:

$$A = \frac{-5 - 3}{3 - 1} = \frac{-8}{2} = -4$$

결과는 -4입니다. 음수 값은 구간 전체에서 출력이 평균적으로 감소하고 있다는 의미입니다 — 함수가 감소하고 있습니다.

예제 3 — 제곱근(정수가 아닌 출력), $f(x)=\sqrt{x}$ on $[1,4]$

$f(a) = \sqrt{1} = 1$
$f(b) = \sqrt{4} = 2$

대입하면:

$$A = \frac{2 - 1}{4 - 1} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$$

결과는 $\tfrac{1}{3} \approx$ 0.3333입니다. 작은 양수 값은 제곱근 함수가 이 구간에서 천천히 상승함을 보여줍니다.

결과 해석

평균 변화율은 함수의 출력이 구간 $[a,b]$에서 입력 단위당 얼마나 빠르게, 어느 방향으로 변하는지 알려줍니다.

양수 ARC: 출력이 평균적으로 증가합니다 — 함수가 $a$에서 $b$로 상승합니다. 값이 클수록 평균 상승이 가파릅니다.
음수 ARC: 출력이 평균적으로 감소합니다 — 함수가 구간 전체에서 하강합니다.
영 ARC: 순 변화가 0입니다; $f(a) = f(b)$. 함수는 중간에 올라갔다 내려갔더라도 같은 출력값으로 돌아옵니다.

크기 = 가파름. 절댓값 $|A|$는 함수가 평균적으로 얼마나 가파르게 변하는지 측정합니다; ARC 6은 ARC 3의 평균 가파름의 2배를 나타내고, ARC -4는 2보다 가파릅니다.

단위. ARC는 출력의 단위를 입력의 단위로 나눈 단위를 갖습니다 — "입력 단위당 출력 단위." 예를 들어, 연간 달러, 초당 미터, 또는 분당 도. 응용 문제에서는 항상 단위를 명시하여 숫자가 의미 있도록 하세요.

기울기 및 응용 변화율과의 관계

기하학적으로 평균 변화율은 그래프 위의 두 점 $(a, f(a))$과(와) $(b, f(b))$을(를) 연결하는 할선의 기울기와 같습니다 — 정확히 그 두 점 사이의 올림/밂입니다.

응용 맥락에서 같은 공식은 친숙한 이름을 갖습니다. $f$가 시간의 함수로서의 위치일 때, ARC는 평균 속도 $\Delta x / \Delta t$입니다; $f$가 시간에 따른 속도일 때, 이는 평균 가속도 $\Delta v / \Delta t$입니다. 구간이 단일 지점으로 축소됨에 따라 평균 변화율은 순간 변화율 — 도함수에 접근합니다.

정의 & 용어집

평균 변화율(ARC): 구간에 걸쳐 함수의 출력의 변화를 입력의 변화로 나눈 값: $A = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$. 이는 $[a,b]$에서 함수의 순 단위당 변화를 설명합니다.
구간 $[a,b]$: 변화율이 측정되는 범위로, 하한 끝점 $a$에서 상한 끝점 $b$까지의 폐쇄 입력값 범위이며, $a \neq b$입니다.
$f(a)$ 및 $f(b)$: 구간의 끝점에서 함수의 출력값 — 시작 출력 $f(a)$과(와) 끝 출력 $f(b)$.
$\Delta y$(출력의 변화): 출력값의 차이, $\Delta y = f(b) - f(a)$; ARC의 분자로, "올림"이라고도 불립니다.
$\Delta x$(입력의 변화): 입력값의 차이, $\Delta x = b - a$; ARC의 분모로, "밈"이라고도 불립니다.
할선: 곡선 위의 두 점을 통과하는 직선으로, 여기서는 $(a, f(a))$과(와) $(b, f(b))$. ARC는 이 할선의 기울기와 같습니다.
기울기: 직선의 가파름으로, 올림을 밈으로 나눈 값으로 측정합니다, $\Delta y / \Delta x$. 평균 변화율은 선택된 두 점 사이의 할선의 기울기입니다.
순간 변화율(도함수): 단일 점에서의 변화율, $f'(x)$, 구간 길이가 0에 접근할 때 평균 변화율의 극한으로 얻습니다. 이는 그 점에서 접선의 기울기와 같습니다.