평균 변화율이란?

평균 변화율(ARC, Average Rate of Change)은 구간 [a, b]에서 입력값이 1만큼 늘어날 때 함수의 출력값이 평균적으로 얼마나 변하는지를 나타냅니다. 기하학적으로는 함수 그래프 위의 두 점 (a, f(a))와 (b, f(b))를 잇는 할선(secant line)의 기울기와 같습니다. 평균 변화율은 대수학과 미적분학의 가장 기본이 되는 개념 중 하나로, '기울기'라는 개념과 '미분(도함수)'을 자연스럽게 이어 주는 다리 역할을 합니다.

두 표시된 점을 직선 할선으로 연결한 곡선 — 평균 변화율은 곡선 위의 두 점을 지나는 할선의 기울기와 같다.

계산기 사용 방법

네 가지 값을 입력하면 됩니다. 첫 번째 점에서의 함숫값 $f(a)$, 첫 번째 입력값 $a$, 두 번째 점에서의 함숫값 $f(b)$, 그리고 두 번째 입력값 $b$입니다. 계산기는 출력값끼리 빼고, 입력값끼리 뺀 뒤 이를 나누어 평균 변화율을 구합니다. 보조 표시 두 줄에는 분자(f의 변화량)와 분모(x의 변화량)가 따로 나타나므로 계산 과정을 한눈에 따라갈 수 있습니다.

공식 살펴보기

공식은 다음과 같습니다.

$$A = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

분자 $f(b) - f(a)$는 함숫값의 총 변화량으로, 흔히 $\Delta y$로 표기합니다. 분모 $b - a$는 입력값의 총 변화량($\Delta x$)입니다. 이 둘의 비 $\Delta y / \Delta x$가 바로 두 점 사이의 기울기입니다. 만약 $b - a$가 0이라면 0으로 나눌 수 없으므로 변화율은 정의되지 않습니다.

할선 위 두 점 사이의 세로 변화와 가로 변화를 보여주는 직각삼각형 — 평균 변화율은 세로 변화를 가로 변화로 나눈 값: f의 변화 ÷ x의 변화.

예제로 이해하기

$f(x) = x^2$인 경우를 생각해 봅시다. 그러면 $f(1) = 1$, $f(3) = 9$가 됩니다. 여기서 $a = 1$, $b = 3$, $f(a) = 1$, $f(b) = 9$입니다.

$$A = \frac{9 - 1}{3 - 1} = \frac{8}{2} = 4$$

즉, 구간 [1, 3]에서 x가 1씩 늘어날 때마다 함숫값 f는 평균 4만큼 증가합니다.

더 많은 풀이 예제

각 예제는 평균 변화율 공식 $A = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$을(를) 사용합니다. 분자는 출력의 변화($\Delta y$)이고, 분모는 입력의 변화($\Delta x$)입니다.

예제 1 — 일차 함수(상수 ARC)

$[1, 5]$ 구간에서 $f(x) = 3x + 2$라고 합시다.

$f(a) = f(1) = 3(1) + 2 = 5$
$f(b) = f(5) = 3(5) + 2 = 17$

공식에 대입하면:

$$A = \frac{17 - 5}{5 - 1} = \frac{12}{4} = 3$$

결과는 3입니다. 일차 함수에서 ARC는 직선의 기울기와 같으므로 모든 구간에서 동일합니다 — 상수 변화율입니다.

예제 2 — 감소 함수(음수 ARC)

$[1, 3]$ 구간에서 $f(x) = -x^2 + 4$라고 합시다.

$f(a) = f(1) = -(1)^2 + 4 = 3$
$f(b) = f(3) = -(3)^2 + 4 = -5$

대입하면:

$$A = \frac{-5 - 3}{3 - 1} = \frac{-8}{2} = -4$$

결과는 -4입니다. 음수 값은 구간 전체에서 출력이 평균적으로 감소하고 있다는 의미입니다 — 함수가 감소하고 있습니다.

예제 3 — 제곱근(정수가 아닌 출력), $f(x)=\sqrt{x}$ on $[1,4]$

$f(a) = \sqrt{1} = 1$
$f(b) = \sqrt{4} = 2$

대입하면:

$$A = \frac{2 - 1}{4 - 1} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$$

결과는 $\tfrac{1}{3} \approx$ 0.3333입니다. 작은 양수 값은 제곱근 함수가 이 구간에서 천천히 상승함을 보여줍니다.

결과 해석

평균 변화율은 함수의 출력이 구간 $[a,b]$에서 입력 단위당 얼마나 빠르게, 어느 방향으로 변하는지 알려줍니다.

양수 ARC: 출력이 평균적으로 증가합니다 — 함수가 $a$에서 $b$로 상승합니다. 값이 클수록 평균 상승이 가파릅니다.
음수 ARC: 출력이 평균적으로 감소합니다 — 함수가 구간 전체에서 하강합니다.
영 ARC: 순 변화가 0입니다; $f(a) = f(b)$. 함수는 중간에 올라갔다 내려갔더라도 같은 출력값으로 돌아옵니다.

크기 = 가파름. 절댓값 $|A|$는 함수가 평균적으로 얼마나 가파르게 변하는지 측정합니다; ARC 6은 ARC 3의 평균 가파름의 2배를 나타내고, ARC -4는 2보다 가파릅니다.

단위. ARC는 출력의 단위를 입력의 단위로 나눈 단위를 갖습니다 — "입력 단위당 출력 단위." 예를 들어, 연간 달러, 초당 미터, 또는 분당 도. 응용 문제에서는 항상 단위를 명시하여 숫자가 의미 있도록 하세요.

기울기 및 응용 변화율과의 관계

기하학적으로 평균 변화율은 그래프 위의 두 점 $(a, f(a))$과(와) $(b, f(b))$을(를) 연결하는 할선의 기울기와 같습니다 — 정확히 그 두 점 사이의 올림/밂입니다.

응용 맥락에서 같은 공식은 친숙한 이름을 갖습니다. $f$가 시간의 함수로서의 위치일 때, ARC는 평균 속도 $\Delta x / \Delta t$입니다; $f$가 시간에 따른 속도일 때, 이는 평균 가속도 $\Delta v / \Delta t$입니다. 구간이 단일 지점으로 축소됨에 따라 평균 변화율은 순간 변화율 — 도함수에 접근합니다.

정의 & 용어집

평균 변화율(ARC): 구간에 걸쳐 함수의 출력의 변화를 입력의 변화로 나눈 값: $A = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$. 이는 $[a,b]$에서 함수의 순 단위당 변화를 설명합니다.
구간 $[a,b]$: 변화율이 측정되는 범위로, 하한 끝점 $a$에서 상한 끝점 $b$까지의 폐쇄 입력값 범위이며, $a \neq b$입니다.
$f(a)$ 및 $f(b)$: 구간의 끝점에서 함수의 출력값 — 시작 출력 $f(a)$과(와) 끝 출력 $f(b)$.
$\Delta y$(출력의 변화): 출력값의 차이, $\Delta y = f(b) - f(a)$; ARC의 분자로, "올림"이라고도 불립니다.
$\Delta x$(입력의 변화): 입력값의 차이, $\Delta x = b - a$; ARC의 분모로, "밈"이라고도 불립니다.
할선: 곡선 위의 두 점을 통과하는 직선으로, 여기서는 $(a, f(a))$과(와) $(b, f(b))$. ARC는 이 할선의 기울기와 같습니다.
기울기: 직선의 가파름으로, 올림을 밈으로 나눈 값으로 측정합니다, $\Delta y / \Delta x$. 평균 변화율은 선택된 두 점 사이의 할선의 기울기입니다.
순간 변화율(도함수): 단일 점에서의 변화율, $f'(x)$, 구간 길이가 0에 접근할 때 평균 변화율의 극한으로 얻습니다. 이는 그 점에서 접선의 기울기와 같습니다.

자주 묻는 질문

평균 변화율은 기울기와 같은가요? 네, 같습니다. 직선의 경우 평균 변화율은 일정한 기울기와 정확히 일치합니다. 곡선의 경우에는 선택한 구간을 잇는 할선의 기울기에 해당합니다.

미분(도함수)과는 어떤 관계가 있나요? 구간 [a, b]를 한 점으로 점점 좁혀 나가면 평균 변화율은 순간 변화율에 가까워지는데, 이것이 바로 미분(도함수)입니다.

결과가 음수일 수도 있나요? 그렇습니다. 평균 변화율이 음수이면 해당 구간에서 함수가 감소한다는 뜻이고, 양수이면 증가한다는 뜻입니다.

평균 변화율 계산기

계산 입력

공식

결과