ما هي حاسبة محيط القطع الناقص؟
على خلاف الدائرة، لا يملك محيط القطع الناقص صيغة مغلقة بسيطة تعبّر عنه، إذ يتطلب حسابه تكاملاً إهليلجيًّا تامًّا من النوع الثاني. تعتمد هذه الحاسبة على تقريب رامانجان الشهير، وهو تقريب بالغ الدقة يفي بمعظم الأغراض العملية، لإيجاد المحيط انطلاقًا من نصفي محوري القطع الناقص: نصف المحور الأكبر a ونصف المحور الأصغر b.
طريقة الاستخدام
أدخل قيمة نصف المحور الأكبر a (أي نصف أطول قُطر) ونصف المحور الأصغر b (أي نصف أقصر قُطر) بالوحدة نفسها. تُرجع لك الحاسبة المحيط التقريبي والمساحة الدقيقة. يُدخَل كلا القيمتين بوحدة الطول ذاتها، وتظهر النتيجة بالوحدة نفسها.
شرح المعادلة
صيغة رامانجان التقريبية الثانية هي:
$$P \approx \pi \left[ 3\left(\text{a} + \text{b}\right) - \sqrt{\left(3\,\text{a} + \text{b}\right)\left(\text{a} + 3\,\text{b}\right)} \right]$$
أما المساحة فتُحسب بقيمتها الدقيقة \(A = \pi \cdot a \cdot b\). وعندما يكون \(a = b\)، يتحوّل القطع الناقص إلى دائرة نصف قطرها \(a\)، وتختزل الصيغة عندئذٍ إلى \(P = 2\pi a\) كما هو متوقّع.
مثال تطبيقي
لنفترض أن \(a = 5\) وأن \(b = 3\). عندئذٍ يكون \(3(a + b) = 3 \times 8 = 24\). وبعدها \((3a + b)(a + 3b) = (15 + 3)(5 + 9) = 18 \times 14 = 252\)، ويكون \(\sqrt{252} \approx 15.8745\). وبذلك \(P \approx \pi \times (24 - 15.8745) = \pi \times 8.1255 \approx 25.527\) وحدة. أما المساحة فهي \(\pi \times 5 \times 3 \approx 47.124\) وحدة مربّعة.
الأسئلة الشائعة
ما مدى دقة تقريب رامانجان؟ بالنسبة لمعظم القطوع الناقصة يكون الخطأ النسبي ضئيلاً جدًّا، وغالبًا ما يقلّ عن 0.001%. ولا تتراجع دقته إلا قليلاً في القطوع الناقصة الشديدة الاستطالة (ذات الانحراف المركزي العالي).
ماذا لو كانت a تساوي b؟ في هذه الحالة يكون الشكل دائرة، وتعطي الصيغة المحيط الدقيق \(2\pi a\).
كيف نميّز بين المحورين؟ نصف المحور الأكبر هو نصف القُطر الأطول، ونصف المحور الأصغر هو نصف القُطر الأقصر. ولا يؤثّر ترتيب إدخالهما في النتيجة لأن الصيغة متماثلة بالنسبة إلى a وb.
