結果

邊長 a

1.519671

長度單位

周長 L	4.559014 length units
面積 S	1 square units
邊數 n	3

這個計算器能做什麼

本工具可從已知面積反向推算尺寸。只要輸入正多邊形（各邊等長、各角相等）的面積 $S$ 與邊數 $n$，就能算出單邊長度 $a$ 及總周長 $L$。它正好是「由邊長求面積」公式的逆運算，在設計、鋪磚、幾何作業與 CAD 排版時特別實用——當你已知圖形必須覆蓋多大的面積，卻需要回推它的邊緣尺寸時，就能派上用場。

公式說明

一個有 $n$ 條等長邊、每邊長度為 $a$ 的正多邊形，其面積為 $$S = \frac{n \cdot a^2}{4 \cdot \tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)}$$將此式對 $a$ 求解可得 $$a = \sqrt{\frac{4S \cdot \tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)}{n}}$$周長則直接為 $$L = n \cdot a$$式中角度 $\frac{\pi}{n}$ 以弧度（radian）表示（在程式碼中為 $\text{Math.PI} / n$）。當 $n$ 越來越大，$\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$ 會趨近於 $\frac{\pi}{n}$，整個多邊形也會逐漸逼近一個面積相同的圓形。

從中心分成三角形楔塊的正六邊形，標註了一條邊長並對面積著色 — 將正多邊形分成 $n$ 個全等三角形，可把面積 $S$ 與邊長 $a$ 聯繫起來。

使用方法

先輸入面積 $S$，單位可採任何一致的平方單位（cm²、m²、in²，或不帶單位皆可），再輸入邊數 $n$（正三角形為 3、正方形為 4、正五邊形為 5，以此類推）。算出的邊長 $a$ 會以對應的長度單位呈現；舉例來說，面積以 cm² 為單位時，邊長就會是 cm。

實例演算

以一個面積 $S = 100$、$n = 4$ 的正方形為例。此時 $\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$，因此 $$a = \sqrt{\frac{4 \cdot 100 \cdot 1}{4}} = \sqrt{100} = 10$$周長 $L = 4 \cdot 10 = 40$。這正好就是一個邊長 10、周長 40 的正方形——結果完全吻合。