정사각형 내접원이란?
내접원은 정사각형 안에 완벽하게 들어가는 가장 큰 원으로, 정사각형의 네 변에 각각 한 점에서 접합니다. 원이 한 변에서 마주 보는 변까지 닿기 때문에, 원의 지름은 정사각형의 한 변 길이와 같습니다. 이 계산기는 정사각형 한 변의 길이를 입력하면 내접원의 반지름, 지름, 넓이, 둘레는 물론 원이 정사각형을 얼마나 채우는지까지 바로 알려 줍니다.
계산기 사용법
정사각형 한 변의 길이(s)를 원하는 단위로 입력하세요. 센티미터, 인치, 미터 등 어떤 단위든 상관없습니다. 결과는 입력한 단위와 동일한 기준으로 표시됩니다(길이는 같은 단위, 넓이는 제곱 단위). 원이 채우지 못하는 네 모서리의 남은 넓이까지 모두 자동으로 계산해 줍니다.
공식 풀이
내접원은 마주 보는 두 쌍의 변에 모두 접하므로, 지름 \(d\)는 한 변 \(s\)와 같습니다. 따라서 반지름은 한 변의 절반이 됩니다: \(r = s/2\). 이 반지름을 원 넓이 공식 \(A = \pi r^{2}\)에 대입하면 \(A = \pi(s/2)^{2} = \pi s^{2}/4\)가 됩니다.
$$A_{circle} = \frac{\pi\,\text{Side}^{2}}{4}, \quad A_{square} = \text{Side}^{2}$$둘레는 \(C = \pi d = \pi s\)이고, 정사각형의 넓이는 단순히 \(s^{2}\)입니다. 원이 정사각형을 차지하는 비율은 크기와 관계없이 언제나 \(\pi/4 \approx 78.54\%\)로 일정합니다.
$$\text{Coverage} = \frac{\pi}{4}\times 100\%$$
예제로 보기
한 변이 10단위인 정사각형이 있다고 가정해 봅시다. 반지름은 \(r = 10/2 = 5\)단위입니다. 원의 넓이는 \(\pi \times 10^{2} / 4 = 100\pi/4 = 25\pi \approx 78.54\) 제곱단위입니다. 정사각형의 넓이는 \(100\)이므로, 모서리에 남는 넓이는 \(100 - 78.54 = 21.46\) 제곱단위이고, 차지하는 비율은 \(78.54\%\)입니다.
자주 묻는 질문
왜 지름이 한 변의 길이와 같나요? 가장 큰 원은 네 변에 모두 닿기 때문에, 정사각형의 폭 전체에 걸쳐 뻗어야 합니다. 그래서 지름이 \(s\)와 같아집니다.
원은 정사각형의 몇 퍼센트를 차지하나요? 정사각형의 크기와 상관없이 언제나 \(\pi/4 \approx 78.54\%\)입니다.
어떤 단위를 써야 하나요? 일관된 단위라면 무엇이든 괜찮습니다. 한 변에 입력한 단위 그대로 길이가 나오고, 넓이는 그 단위의 제곱으로 표시됩니다.
