परिणाम

अंतर्निहित वृत्त का क्षेत्रफल

78.54

वर्ग इकाई

वृत्त की त्रिज्या (r = s/2)	5
वृत्त का व्यास	10
परिधि	31.42
वर्ग का क्षेत्रफल	100
बची हुई (कोनों की) जगह	21.46
कवरेज	78.54%

वर्ग में अंतर्निहित वृत्त क्या होता है?

अंतर्निहित वृत्त (inscribed circle) वह सबसे बड़ा वृत्त होता है जो किसी वर्ग के अंदर पूरी तरह समा जाता है और उसकी चारों भुजाओं को ठीक एक-एक बिंदु पर स्पर्श करता है। चूँकि यह वृत्त एक भुजा से लेकर सामने वाली भुजा तक फैला होता है, इसलिए इसका व्यास वर्ग की भुजा की लंबाई के बराबर होता है। यह कैलकुलेटर वर्ग की भुजा की लंबाई लेकर तुरंत अंतर्निहित वृत्त की त्रिज्या, व्यास, क्षेत्रफल, परिधि और यह बता देता है कि वृत्त वर्ग के कितने हिस्से को ढकता है।

Circle inscribed inside a square touching all four sides, with side length s and radius r marked — The largest circle inscribed in a square touches all four sides; its diameter equals the square's side length s.

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

अपने वर्ग की भुजा की लंबाई (s) किसी भी इकाई में डालें — सेंटीमीटर, इंच, मीटर आदि। परिणाम उसी इकाई में आते हैं (लंबाई आपकी इकाई में और क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में)। यह टूल सब कुछ अपने आप गणना कर देता है, जिसमें चारों कोनों में बची हुई वह जगह भी शामिल है जिसे वृत्त नहीं ढकता।

सूत्र की व्याख्या

चूँकि अंतर्निहित वृत्त सामने-सामने वाली दोनों जोड़ी भुजाओं को छूता है, इसलिए व्यास $d$ भुजा $s$ के बराबर होता है। इसलिए त्रिज्या भुजा की आधी होती है:

$$r = \frac{s}{2}$$

इस त्रिज्या को वृत्त के क्षेत्रफल के मानक सूत्र $A = \pi r^{2}$ में रखने पर मिलता है

$$A = \pi\left(\frac{s}{2}\right)^{2} = \frac{\pi s^{2}}{4}$$

परिधि $C = \pi d = \pi s$ होती है, और वर्ग का क्षेत्रफल बस $s^{2}$ होता है। वृत्त द्वारा ढका गया वर्ग का हिस्सा हमेशा $\frac{\pi}{4} \approx 78.54\%$ रहता है, चाहे आकार कितना भी हो।

Diagram showing the inscribed circle diameter equals the square side, so radius is half the side — Because the diameter spans the full side, r = s/2.

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए किसी वर्ग की भुजा 10 इकाई है। तब त्रिज्या $r = \frac{10}{2} = 5$ इकाई होगी। वृत्त का क्षेत्रफल

$$\frac{\pi \times 10^{2}}{4} = \frac{100\pi}{4} = 25\pi \approx 78.54$$

वर्ग इकाई होगा। वर्ग का क्षेत्रफल 100 है, इसलिए कोनों में बची हुई जगह $100 - 78.54 = 21.46$ वर्ग इकाई होगी, और कवरेज 78.54% रहेगी।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल (FAQ)

व्यास भुजा की लंबाई के बराबर क्यों होता है? क्योंकि सबसे बड़ा वृत्त चारों भुजाओं को छूता है, इसलिए उसे वर्ग की पूरी चौड़ाई तक फैलना पड़ता है, जिससे उसका व्यास $s$ के बराबर हो जाता है।

वृत्त वर्ग के कितने प्रतिशत हिस्से को ढकता है? हमेशा $\frac{\pi}{4} \approx 78.54\%$, चाहे वर्ग कितना भी बड़ा हो।

मुझे कौन-सी इकाई इस्तेमाल करनी चाहिए? कोई भी एक जैसी (consistent) इकाई। आप भुजा के लिए जो इकाई डालेंगे, लंबाई उसी इकाई में और क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में मिलेगा।

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