正方形內接圓計算機

輸入計算

正方形邊長（s）

結果

內接圓面積

78.54

平方單位

圓半徑（r = s/2）	5
圓直徑	10
周長	31.42
正方形面積	100
剩餘（角落）面積	21.46
覆蓋率	78.54%

什麼是正方形的內接圓？

內接圓是指能完美塞進正方形內部的最大圓，並與正方形的四條邊各相切於一點。由於這個圓會從一邊延伸到正對面的另一邊，因此它的直徑恰好等於正方形的邊長。本計算機只要輸入正方形的邊長，就能立即算出內接圓的半徑、直徑、面積、周長，以及圓覆蓋了正方形多少比例。

The largest circle inscribed in a square touches all four sides; its diameter equals the square's side length s.

如何使用本計算機

輸入正方形的邊長（s），單位可自由選擇——公分、英吋、公尺都可以。計算結果會沿用相同的單位（長度為你輸入的單位，面積則為該單位的平方）。系統會自動算出所有數值，包括圓未覆蓋到、留在四個角落的剩餘面積。

公式解析

由於內接圓會同時與兩組對邊相切，因此直徑 \(d\) 等於邊長 \(s\)。半徑自然是邊長的一半：\(r = s/2\)。將此半徑代入標準的圓面積公式 \(A = \pi r^2\)，便可得到 $$A = \pi\left(\frac{s}{2}\right)^2 = \frac{\pi s^2}{4}$$周長為 \(C = \pi d = \pi s\)，而正方形的面積就是 \(s^2\)。無論大小如何，圓所覆蓋的正方形比例永遠是 \(\frac{\pi}{4} \approx 78.54\%\)。

Because the diameter spans the full side, r = s/2.

實際範例

假設一個正方形的邊長為 10 單位。半徑為 \(r = 10/2 = 5\) 單位。圓面積為 $$\frac{\pi \times 10^2}{4} = \frac{100\pi}{4} = 25\pi \approx 78.54$$ 平方單位。正方形面積為 100，因此四個角落的剩餘面積為 \(100 - 78.54 = 21.46\) 平方單位，覆蓋率為 78.54%。

常見問題

為什麼直徑會等於邊長？因為最大的內接圓必須與四條邊都相切，所以它得橫跨整個正方形的寬度，使得直徑等於邊長 \(s\)。

圓覆蓋了正方形多少比例？無論正方形多大，永遠都是 \(\frac{\pi}{4} \approx 78.54\%\)。

我該使用什麼單位？任何一致的單位都可以。你輸入邊長時用什麼單位，長度結果就用該單位，面積則為該單位的平方。