位似變換計算機

輸入計算

點 x 座標

點 y 座標

中心 cx

中心 cy

比例係數 k

結果

像座標 (x', y')

(4, 6)

after dilation by factor 2

新 x'	4
新 y'	6
比例係數 k	2

什麼是位似變換？

位似變換（dilation）是一種幾何變換，它依照比例係數 \(k\) 放大或縮小圖形，同時保持圖形的形狀與方向不變。每一個點都會相對於一個固定點移動：當 \(0 < k < 1\) 時靠近該固定點，當 \(k > 1\) 時遠離該固定點，這個固定點就稱為位似中心。若 \(k\) 為負值，則除了縮放之外，還會將點對位似中心做反射。本計算機可以求出任一點以任意中心進行位似變換後所得到的像。

位似變換使圖形相對於固定中心放大或縮小，遠離或靠近中心。

使用方法

輸入原始點的座標 \((x, y)\)、位似中心 \((c_x, c_y)\)，以及比例係數 \(k\)，計算機便會回傳變換後的像座標 \((x', y')\)。如果你的中心就是原點，只要將 \(c_x\) 與 \(c_y\) 都填 0 即可，這時公式會簡化為 $$(x', y') = (kx,\, ky)$$

公式說明

求像座標的做法是：先量出原始點相對於中心的位移，再將這個位移乘以 \(k\)，最後加回中心：

$$x' = c_x + k\,(x - c_x)$$$$y' = c_y + k\,(y - c_y)$$

其中 \((x - c_x,\, y - c_y)\) 就是從中心指向該點的向量。乘上 \(k\) 可拉伸或壓縮這個向量，再加回中心座標，即可得到結果在座標平面上的位置。

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像點位於從中心 C 經過 P 的射線上，按比例因子 k 縮放。

範例演算

將點 \((4, 6)\) 以原點 \((0, 0)\) 為中心、比例係數 \(0.5\) 做位似變換：

$$x' = 0 + 0.5 \times (4 - 0) = 2$$$$y' = 0 + 0.5 \times (6 - 0) = 3$$

像座標為 \((2, 3)\)——與原點的距離正好縮為一半，這正是比例係數二分之一所預期的結果。

常見問題

當 \(k = 1\) 時會發生什麼？點會停留在原處不動；比例係數為 1 屬於恆等變換。

負的 \(k\) 有什麼作用？它會在縮放點的同時，將點對中心做反射，使其落在中心的另一側。

中心一定要是原點嗎？不必。任何一點都可以作為位似中心，本計算機可處理你所提供的任意中心。