拡大・縮小（相似変換）とは？
拡大・縮小は、図形の形と向きを保ったまま、倍率kに応じて大きさを変える幾何学的な変換です。すべての点は、変換の中心と呼ばれる定点に向かって（0 < k < 1 のとき）近づくか、定点から離れる（k > 1 のとき）方向に移動します。kが負の値の場合は、点を中心に関して反転させたうえで拡大・縮小します。この計算ツールでは、任意に選んだ中心を基準に、どの点でも変換後の像を求めることができます。
使い方
元の点の座標 \((x, y)\)、変換の中心 \((c_x, c_y)\)、そして倍率 \(k\) を入力してください。計算ツールが変換後の像の点 \((x', y')\) を返します。中心が原点の場合は、\(c_x\) と \(c_y\) を 0 のままにしておけば大丈夫です。このとき式は $$(x', y') = (kx,\ ky)$$ という単純な形になります。
計算式の解説
像の点は、元の点が中心からどれだけ離れているか（変位）を測り、その変位を\(k\)倍したうえで、中心に足し戻すことで求められます。
$$x' = c_x + k\,(x - c_x)$$$$y' = c_y + k\,(y - c_y)$$\((x - c_x,\ y - c_y)\) という項は、中心から点へ向かうベクトルを表します。これを\(k\)倍するとベクトルが伸び縮みし、最後に中心を足し戻すことで、変換後の点が座標平面上の正しい位置に配置されます。
計算例
点 \((4, 6)\) を、原点 \((0, 0)\) を中心に倍率 \(0.5\) で拡大・縮小してみましょう。
$$x' = 0 + 0.5 \times (4 - 0) = 2$$$$y' = 0 + 0.5 \times (6 - 0) = 3$$像の点は \((2, 3)\) になります。倍率が2分の1なので、予想どおり原点からの距離がちょうど半分になっています。
よくある質問
k = 1 のときはどうなりますか？ 点はまったく動きません。倍率1は、何も変えない恒等変換にあたります。
kが負の値だとどうなりますか？ 点を拡大・縮小したうえで中心に関して反転させ、反対側に移します。
中心は必ず原点でなければなりませんか？ いいえ。どの点でも変換の中心にできます。この計算ツールは、入力したどんな中心にも対応します。
