Homoteti Nedir?
Homoteti, bir şeklin biçimini ve yönelimini koruyarak onu bir k ölçek katsayısıyla büyütüp küçülten bir geometrik dönüşümdür. Her nokta, homoteti merkezi denilen sabit bir noktaya doğru (0 < k < 1 olduğunda) ya da bu noktadan uzağa (k > 1 olduğunda) hareket eder. Negatif bir k değeri ise noktayı ölçeklendirmenin yanı sıra merkeze göre yansıtır. Bu hesaplama aracı, seçtiğiniz herhangi bir merkez etrafında yapılan homoteti sonucunda herhangi bir noktanın görüntüsünü hesaplar.
Nasıl Kullanılır?
Orijinal noktanın koordinatlarını \((x, y)\), homoteti merkezini \((c_x, c_y)\) ve \(k\) ölçek katsayısını girin. Araç, dönüşmüş görüntü noktasını \((x', y')\) verir. Merkeziniz orijin ise \(c_x\) ve \(c_y\) değerlerini 0 olarak bırakmanız yeterlidir; formül o zaman $$(x', y') = (kx, ky)$$ hâline iner.
Formül Açıklaması
Görüntü noktası, orijinal noktanın merkeze olan uzaklığı ölçülerek, bu uzaklık \(k\) ile çarpılarak ve sonuç tekrar merkeze eklenerek bulunur:
$$x' = c_x + k(x - c_x)$$$$y' = c_y + k(y - c_y)$$\((x - c_x,\; y - c_y)\) ifadesi, merkezden noktaya giden vektördür. Bu vektörü \(k\) ile çarpmak onu uzatır veya kısaltır; merkezi tekrar eklemek ise sonucu koordinat düzlemine yerleştirir.
Çözümlü Örnek
\((4, 6)\) noktasını orijin \((0, 0)\) etrafında 0,5 katsayısıyla homoteti yapalım:
$$x' = 0 + 0{,}5 \times (4 - 0) = 2$$$$y' = 0 + 0{,}5 \times (6 - 0) = 3$$Görüntü noktası \((2, 3)\) olur; tam beklendiği gibi, yarım ölçek katsayısı için orijine olan uzaklığın yarısı kadardır.
Sık Sorulan Sorular
k = 1 olduğunda ne olur? Nokta tam olarak olduğu yerde kalır; 1 ölçek katsayısı birim (özdeşlik) dönüşümüdür.
Negatif bir k ne yapar? Noktayı ölçeklendirir ve merkeze göre yansıtarak karşı tarafa taşır.
Merkezin mutlaka orijin olması gerekir mi? Hayır. Herhangi bir nokta homoteti merkezi olarak kullanılabilir ve bu araç girdiğiniz her merkezi işleyebilir.
