¿Qué es una homotecia?
Una homotecia es una transformación geométrica que cambia el tamaño de una figura mediante un factor de escala k, conservando su forma y su orientación. Cada punto se acerca (cuando \(0 < k < 1\)) o se aleja (cuando \(k > 1\)) de un punto fijo llamado centro de homotecia. Si k es negativo, el punto no solo se escala, sino que también se refleja a través del centro. Esta calculadora obtiene la imagen de cualquier punto tras una homotecia respecto al centro que elijas.
Cómo utilizarla
Introduce las coordenadas del punto original (x, y), el centro de homotecia (cx, cy) y el factor de escala k. La calculadora te devuelve el punto imagen transformado (x', y'). Si tu centro es el origen, basta con dejar cx y cy en 0: la fórmula se reduce entonces a \((x', y') = (kx,\ ky)\).
La fórmula explicada
El punto imagen se obtiene midiendo el desplazamiento del punto original respecto al centro, multiplicando ese desplazamiento por k y volviéndolo a sumar al centro:
$$\begin{gathered} (x',\, y') = \left( c_x + k\,(x - c_x),\; c_y + k\,(y - c_y) \right) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x &= \text{Point x}, \quad y = \text{Point y} \\ c_x &= \text{Center cx}, \quad c_y = \text{Center cy} \\ k &= \text{Scale factor k} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$El término \((x - c_x,\, y - c_y)\) es el vector que va del centro al punto. Al multiplicarlo por k, ese vector se estira o se encoge, y al sumar de nuevo el centro se sitúa el resultado en el plano de coordenadas.
Ejemplo resuelto
Apliquemos una homotecia al punto (4, 6) con factor 0,5 respecto al origen (0, 0):
$$x' = 0 + 0{,}5 \times (4 - 0) = 2$$$$y' = 0 + 0{,}5 \times (6 - 0) = 3$$El punto imagen es (2, 3): exactamente a la mitad de distancia del origen, tal como cabe esperar con un factor de escala de un medio.
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre cuando \(k = 1\)? El punto se queda exactamente donde estaba; un factor de escala de 1 es la transformación identidad.
¿Qué hace un k negativo? Escala el punto y lo refleja a través del centro, situándolo en el lado opuesto.
¿El centro tiene que ser el origen? No. Cualquier punto puede servir como centro de homotecia, y esta calculadora admite el centro que indiques.
