¿Qué es la dilatación gravitatoria del tiempo?
Según la teoría general de la relatividad de Einstein, los relojes avanzan más despacio cuanto más intenso es el campo gravitatorio. Un reloj situado en lo profundo del pozo gravitatorio de un cuerpo masivo marca el tiempo más lentamente que un reloj idéntico situado muy lejos. Esta calculadora emplea la solución de Schwarzschild para cuantificar ese efecto: a partir de la masa de un cuerpo, tu distancia a su centro y el tiempo transcurrido para un observador lejano, te devuelve el tiempo propio que se experimenta junto a la masa.
Cómo usarla
Introduce tres valores: la masa del cuerpo que genera la gravedad en kilogramos, la distancia radial r desde su centro en metros y el tiempo lejano en segundos. La herramienta calcula el tiempo propio t₀, el factor de dilatación adimensional y la diferencia entre ambos relojes. Se admite notación científica como 5.972e24.
La fórmula explicada
La ecuación central es $$t_0 = \text{Tiempo lejos} \sqrt{1 - \frac{2G\,\text{Masa}}{\text{Radio}\,c^{2}}}$$ donde \(G = 6{,}67430\times10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\) y \(c = 299{.}792{.}458\ \text{m/s}\). La cantidad \(2GM/c^2\) es el radio de Schwarzschild. A medida que \(r\) se acerca al radio de Schwarzschild, el término bajo la raíz cuadrada tiende a cero y el tiempo prácticamente se detiene para un observador lejano: esto marca el horizonte de sucesos de un agujero negro.
Ejemplo resuelto
Para la Tierra (\(M = 5{,}972\times10^{24}\ \text{kg}\)) en su superficie (\(r = 6{.}371{.}000\ \text{m}\)), el término \(2GM/(rc^2) \approx 1{,}39\times10^{-9}\). El factor de dilatación es de aproximadamente \(0{,}9999999993\), así que por cada 1 segundo medido lejos, un reloj en la superficie registra unos \(0{,}9999999993\) segundos: una diferencia de cerca de \(7\times10^{-10}\ \text{s}\) por segundo, que se acumula hasta decenas de microsegundos al año. Por eso los satélites GPS deben corregir los efectos relativistas.
Preguntas frecuentes
¿Un reloj avanza más rápido o más lento bajo la gravedad? Más lento. Cuanto más profundo está en el pozo gravitatorio, más despacio avanza respecto a un reloj lejano.
¿Qué ocurre si r está por debajo del radio de Schwarzschild? El término bajo la raíz se vuelve negativo; la calculadora fija el factor en 0, ya que la fórmula exterior estándar deja de ser válida dentro del horizonte de sucesos.
¿Esto es relatividad especial o general? Es la dilatación gravitatoria del tiempo (relatividad general). Es distinta de la dilatación temporal de la relatividad especial, basada en la velocidad.
