位似变换计算器

输入计算

点 x 坐标

点 y 坐标

中心 cx

中心 cy

比例系数 k

结果

像点 (x', y')

(4, 6)

after dilation by factor 2

新 x'	4
新 y'	6
比例系数 k	2

什么是位似变换？

位似变换是一种几何变换，它以比例系数 \(k\) 对图形进行缩放，同时保持图形的形状和方向不变。每个点都会相对于一个固定点——即位似中心——靠近（当 \(0 < k < 1\) 时）或远离（当 \(k > 1\) 时）。当 \(k\) 为负数时，点不仅会被缩放，还会经过中心点被翻转到对侧。本计算器可以求出任意点绕任意中心做位似变换后的像坐标。

位似变换使图形相对于固定中心放大或缩小，远离或靠近中心。

使用方法

依次输入原始点的坐标 \((x, y)\)、位似中心 \((c_x, c_y)\) 以及比例系数 \(k\)，计算器即可返回变换后的像点坐标 \((x', y')\)。如果位似中心就是原点，只需把 \(c_x\) 和 \(c_y\) 都设为 0，此时公式便简化为 $$(x', y') = (kx, ky)$$

公式详解

求像点的思路是：先测量原始点相对于中心的位移，再把这段位移乘以 \(k\) 进行缩放，最后加回中心坐标：

$$(x',\, y') = \left( c_x + k\,(x - c_x),\; c_y + k\,(y - c_y) \right)$$

其中 \((x - c_x,\, y - c_y)\) 表示由中心指向该点的向量。乘以 \(k\) 会把这个向量拉长或缩短，再加回中心坐标，就能把结果定位到坐标平面上的正确位置。

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像点位于从中心 C 经过 P 的射线上，按比例因子 k 缩放。

例题演示

将点 \((4, 6)\) 绕原点 \((0, 0)\) 按比例系数 0.5 进行位似变换：

$$x' = 0 + 0.5 \times (4 - 0) = 2$$$$y' = 0 + 0.5 \times (6 - 0) = 3$$

因此像点为 \((2, 3)\)——它与原点的距离正好缩小为原来的一半，这与二分之一的比例系数完全吻合。

常见问题

当 \(k = 1\) 时会怎样？ 点的位置保持不变；比例系数为 1 是恒等变换。

\(k\) 为负数会有什么效果？ 点在被缩放的同时，还会经过中心点翻转到对侧。

位似中心必须是原点吗？ 不必。任何一点都可以作为位似中心，本计算器支持你指定的任意中心。