ما هو التمدد؟
التمدد (Dilation) هو تحويل هندسي يغيّر حجم الشكل بمعامل قياس k مع الحفاظ على شكله واتجاهه. تتحرك كل نقطة نحو نقطة ثابتة تُسمى مركز التمدد (عندما يكون \(0 < k < 1\)) أو تبتعد عنها (عندما يكون \(k > 1\)). أما القيمة السالبة لـ k فتعكس النقطة عبر المركز إضافةً إلى تغيير حجمها. تحسب هذه الأداة صورة أي نقطة بعد إجراء تمدد حول أي مركز تختاره.
طريقة الاستخدام
أدخل إحداثيات النقطة الأصلية (x، y)، ومركز التمدد (cx، cy)، ومعامل القياس k. تعرض الحاسبة نقطة الصورة الناتجة (x'، y'). وإذا كان المركز هو نقطة الأصل، فاترك ببساطة قيمتي cx و cy مساويتين للصفر، عندها تتبسّط الصيغة لتصبح \((x', y') = (kx,\; ky)\).
شرح الصيغة
نجد نقطة الصورة بقياس إزاحة النقطة الأصلية عن المركز، ثم ضرب هذه الإزاحة في k، وأخيرًا إعادة إضافتها إلى المركز:
$$x' = c_x + k\,(x - c_x)$$$$y' = c_y + k\,(y - c_y)$$يمثّل المقدار \((x - c_x,\; y - c_y)\) المتجه من المركز إلى النقطة. وضربه في k يمدّ هذا المتجه أو يقلّصه، بينما تعيد إضافة المركز الناتجَ إلى موضعه في المستوى الإحداثي.
مثال محلول
لنُجرِ تمددًا للنقطة (4، 6) بمعامل قياس 0.5 حول نقطة الأصل (0، 0):
$$x' = 0 + 0.5 \times (4 - 0) = 2$$$$y' = 0 + 0.5 \times (6 - 0) = 3$$نقطة الصورة هي (2، 3) — أي على نصف المسافة عن نقطة الأصل تمامًا، وهو ما نتوقعه مع معامل قياس يساوي النصف.
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث عندما \(k = 1\)؟ تبقى النقطة في موضعها تمامًا دون تغيير؛ فمعامل القياس 1 هو تحويل المطابقة.
ماذا تفعل القيمة السالبة لـ k؟ تغيّر حجم النقطة وتعكسها عبر المركز، فتقع على الجهة المقابلة.
هل يجب أن يكون المركز نقطة الأصل؟ لا. يمكن لأي نقطة أن تكون مركزًا للتمدد، وهذه الحاسبة تتعامل مع أي مركز تُدخله.
