ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة الصورة المرآوية (الانعكاس) لنقطة حول مستقيم. أدخل أي نقطة (x، y) وأي مستقيم مكتوب بالصيغة العامة \(ax + by + c = 0\)، فتعيد لك النقطة المنعكسة (x'، y') — وهي النقطة الواقعة على الجانب المقابل من المستقيم، على المسافة العمودية نفسها.
كيفية الاستخدام
أدخل إحداثيات نقطتك، ثم أدخل المعاملات الثلاثة a وb وc الخاصة بالمستقيم. إذا كان مستقيمك مكتوبًا بصيغة الميل مثل y = mx + k، فأعد كتابته على هيئة mx − y + k = 0 بحيث تكون \(a = m\) و\(b = -1\) و\(c = k\). أما المستقيم الرأسي x = 5 فيتحوّل إلى 1·x + 0·y − 5 = 0.
شرح الصيغة
المقدار ذو الإشارة d = (ax + by + c) / (a² + b²) يقيس مدى بُعد النقطة عن المستقيم، مقيسًا وفق معاملات المستقيم. وبالتراجع مسافة تساوي ضعف هذه القيمة في اتجاه المتجه العمودي (a, b) تصل بالضبط إلى الصورة المرآوية:
$$(x', y') = \left(x - 2a\,d,\; y - 2b\,d\right)$$
حيث$$d = \dfrac{a\,x + b\,y + c}{a^{2} + b^{2}}$$
وإذا كانت النقطة واقعة أصلًا على المستقيم، فإن \(ax + by + c = 0\)، وبالتالي تنطبق على نفسها.
مثال محلول
لنعكس النقطة (3، 4) حول المستقيم \(x - y = 0\) (حيث \(a = 1\) و\(b = -1\) و\(c = 0\)). هنا \(a^{2} + b^{2} = 2\) و\(ax + by + c = 3 - 4 = -1\)، إذن \(d = -1/2\). ومن ثم \(x' = 3 - 2(1)(-0.5) = 4\) و\(y' = 4 - 2(-1)(-0.5) = 3\). فيكون انعكاس النقطة (3، 4) حول المستقيم \(y = x\) هو (4، 3) — أي التبديل المتوقَّع تمامًا.
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن تكون a أو b أو c مساوية للصفر؟ نعم. الحالة الوحيدة غير الصحيحة هي \(a = b = 0\)، لأنه لا يوجد عندها مستقيم؛ والحاسبة تتجنّب القسمة على صفر في هذه الحالة.
هل يجب أن يمرّ المستقيم بنقطة الأصل؟ لا. فالثابت c يزيح المستقيم، والصيغة تتعامل مع أي موضع.
ماذا لو كان مستقيمي بصيغة y = mx + k؟ حوّله إلى m·x − 1·y + k = 0، فتكون \(a = m\) و\(b = -1\) و\(c = k\).
