ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة أقصر مسافة (المسافة العمودية) من نقطة إلى مستقيم في المستوى ثنائي الأبعاد. يُعطى المستقيم بالصيغة العامة \(a\cdot x + b\cdot y + c = 0\)، وتُعطى النقطة بإحداثياتها \((x_0,\ y_0)\). والناتج دائمًا طول غير سالب يُقاس عموديًا على المستقيم.
كيفية الاستخدام
أدخل المعاملات الثلاثة a وb وc الخاصة بمعادلة المستقيم، ثم أدخل إحداثيات النقطة، واضغط على زر الحساب. وإذا كانت لديك معادلة مستقيم بصيغة الميل والمقطع مثل \(y = m\cdot x + k\)، فأعد كتابتها على الصورة \(m\cdot x - y + k = 0\)، بحيث يكون \(a = m\) و\(b = -1\) و\(c = k\).
شرح القانون
تُحسب المسافة بالعلاقة $$d = \frac{\left| a\cdot x_0 + b\cdot y_0 + c \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$$ يقيس البسط مدى بُعد إحداثيات النقطة عن تحقيق معادلة المستقيم، أما القسمة على \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\) فتعمل على تسوية ذلك بمقدار المتجه العمودي للمستقيم \((a,\ b)\). وتضمن القيمة المطلقة أن تكون المسافة موجبة؛ أما حذفها فيعطي قيمة ذات إشارة تدل إشارتها على الجهة التي تقع فيها النقطة بالنسبة للمستقيم.
مثال محلول
لنأخذ المستقيم \(3x + 4y - 5 = 0\) والنقطة \((0,\ 0)\). البسط يساوي \(|3\cdot 0 + 4\cdot 0 - 5| = 5\)، والمقام يساوي \(\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\). ومن ثَمّ فإن $$d = \frac{5}{5} = 1$$ أي أن نقطة الأصل تبعد وحدة واحدة بالضبط عن هذا المستقيم.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان كل من a وb يساوي صفرًا؟ عندئذٍ لا تمثّل المعادلة \(a\cdot x + b\cdot y + c = 0\) مستقيمًا صحيحًا، فتصبح المسافة غير معرّفة؛ وتُرجع الحاسبة القيمة 0 لتفادي القسمة على صفر.
هل لإشارة d أهمية؟ المسافة الأساسية موجبة دائمًا. أما سطر المسافة ذات الإشارة فيدلّك على نصف المستوى الذي تقع فيه النقطة — موجبة على جهة وسالبة على الجهة الأخرى.
هل يمكنني استخدامها لمستقيم يمر بنقطتين؟ نعم — حوِّل النقطتين \((x_1, y_1)\) و\((x_2, y_2)\) إلى المعاملات \(a = y_2 - y_1\) و\(b = x_1 - x_2\) و\(c = x_2\cdot y_1 - x_1\cdot y_2\)، ثم أدخل هذه المعاملات.
